Questão 14. Marque (V) ou (F):
a) (\sqrt{f(x)})^{\prime}=\frac{f^{\prime}(x)}{2 \sqrt{f(x)}}
b) (f(\sqrt{x}))^{\prime}=\frac{f^{\prime}(x)}{2 \sqrt{x}}
c) \left(e^{2}\right)^{\prime}=e^{2}
d) \left(e^{2}\right)^{\prime}=2 e 80
e) \left(10^{x}\right)^{\prime}=x 10^{x-1}
f) (\ln 10)^{\prime}=\frac{1}{10}
g) \left(\tan ^{2} x\right)^{\prime}=\left(\operatorname{sec} ^{2} x\right)^{\prime}
h) Se g(x)=x^{5}, então \lim _{x \rightarrow 2} \frac{g(x)-g(2)}{x-2}=
i) A derivada de \left|x^{2}+x\right| é |2 x+1|

Passo 1

O enunciado pede para marcarmos (V) ou (F) em várias fórmulas de derivada e, em (h), calcular um limite que é justamente a definição de derivada. Vamos usar a regra da cadeia, a derivada de constantes e exponenciais, e a definição de derivada via limite.

Passo 2

Para (a) e (b) usamos a regra da cadeia.
(a) Se h(x)=\sqrt{f(x)}=(f(x))^{1/2}, então
h'(x)=\tfrac12 (f(x))^{-1/2}\cdot f'(x)=\frac{f'(x)}{2\sqrt{f(x)}},
logo (a) é Verdadeira.
(b) Se k(x)=f(\sqrt{x}), então pela cadeia
k'(x)=f'(\sqrt{x})\cdot\frac{d}{dx}(\sqrt{x}) =f'(\sqrt{x})\cdot\frac1{2\sqrt{x}},
que não é \frac{f'(x)}{2\sqrt{x}}. Então (b) é Falsa.

Passo 3

(c) e (d) envolvem a derivada de uma constante. Como e^2 é constante,
\frac{d}{dx}\bigl(e^2\bigr)=0,
portanto tanto (c) quanto (d) são Falsas.

Passo 4

(e) A derivada de 10^x é \ln(10)\,10^x, não x\,10^{x-1}, logo (e) é Falsa.
(f) \ln(10) é constante, logo \bigl(\ln(10)\bigr)'=0, e não \tfrac1{10}. Então (f) é Falsa.

Passo 5

(g) Calculando separadamente:
\frac{d}{dx}\bigl(\tan^2 x\bigr) =2\tan x\operatorname{sec}^2 x, \qquad \frac{d}{dx}\bigl(\operatorname{sec}^2 x\bigr) =2\operatorname{sec} x\cdot\operatorname{sec} x\tan x =2\operatorname{sec}^2 x\tan x.
Os resultados são diferentes, então (g) é Falsa.

Passo 6

(h) Pelo limite que define a derivada, para g(x)=x^5 temos
\lim_{x\to2}\frac{g(x)-g(2)}{x-2} =g'(2) =5\cdot2^4 =80.

Passo 7

(i) Se u(x)=x^2+x, então \bigl|u(x)\bigr|'=\operatorname{sgn}(u(x))\;u'(x), não \lvert u'(x)\rvert. Logo a afirmativa está incorreta, e (i) é Falsa.

Resposta

a) V
b) F
c) F
d) F
e) F
f) F
g) F
h) 80
i) F

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