Questão 14. Marque (V) ou (F):
a) (\sqrt{f(x)})^{\prime}=\frac{f^{\prime}(x)}{2 \sqrt{f(x)}}
b) (f(\sqrt{x}))^{\prime}=\frac{f^{\prime}(x)}{2 \sqrt{x}}
c) \left(e^{2}\right)^{\prime}=e^{2}
d) \left(e^{2}\right)^{\prime}=2 e 80
e) \left(10^{x}\right)^{\prime}=x 10^{x-1}
f) (\ln 10)^{\prime}=\frac{1}{10}
g) \left(\tan ^{2} x\right)^{\prime}=\left(\operatorname{sec} ^{2} x\right)^{\prime}
h) Se g(x)=x^{5}, então \lim _{x \rightarrow 2} \frac{g(x)-g(2)}{x-2}=
i) A derivada de \left|x^{2}+x\right| é |2 x+1|
Passo 1
O enunciado pede para marcarmos (V) ou (F) em várias fórmulas de derivada e, em (h), calcular um limite que é justamente a definição de derivada. Vamos usar a regra da cadeia, a derivada de constantes e exponenciais, e a definição de derivada via limite.
Passo 2
Para (a) e (b) usamos a regra da cadeia.
(a) Se h(x)=\sqrt{f(x)}=(f(x))^{1/2}, então
que não é \frac{f'(x)}{2\sqrt{x}}. Então (b) é Falsa.
Passo 3
(c) e (d) envolvem a derivada de uma constante. Como e^2 é constante,
\frac{d}{dx}\bigl(e^2\bigr)=0,
portanto tanto (c) quanto (d) são Falsas.
Passo 4
(e) A derivada de 10^x é \ln(10)\,10^x, não x\,10^{x-1}, logo (e) é Falsa.
(f) \ln(10) é constante, logo \bigl(\ln(10)\bigr)'=0, e não \tfrac1{10}. Então (f) é Falsa.