Questão 10. Dois lados de um triângulo medem 12 m e 15 m . O ângulo entre eles cresce a 1 / 90 \mathrm{rad} / \mathrm{min}. Com que velocidade aumenta o terceiro lado quando o ângulo é \pi / 3 ?

Passo 1

O enunciado trata de um triângulo com lados fixos de comprimento 12 m e 15 m e ângulo entre eles \theta que varia no tempo. Queremos a taxa de variação do terceiro lado c em função de d\theta/dt. O conteúdo principal é aplicação de regra de derivação em relação ao tempo usando a Lei dos Cossenos.

Passo 2

Pela Lei dos Cossenos, a relação entre os lados e o ângulo oposto a c é
c^2 = 12^2 + 15^2 - 2 \cdot 12 \cdot 15 \cdot \cos(\theta).

Passo 3

Derivando ambos os lados em relação ao tempo t, obtemos
2\,c\,\frac{dc}{dt} = -2 \cdot 12 \cdot 15 \cdot \bigl(-\sin(\theta)\bigr)\,\frac{d\theta}{dt} = 2 \cdot 12 \cdot 15 \,\sin(\theta)\,\frac{d\theta}{dt}.

Passo 4

Isolando \displaystyle \frac{dc}{dt}, vem
\frac{dc}{dt} = \frac{12 \cdot 15\,\sin(\theta)}{c}\,\frac{d\theta}{dt}.

Passo 5

Quando \theta = \pi/3 temos \sin(\pi/3)=\sqrt{3}/2. Também
c = \sqrt{12^2 + 15^2 - 2\cdot12\cdot15\cdot\cos(\pi/3)} = \sqrt{144 + 225 - 180} = \sqrt{189} = 3\sqrt{21}.
E foi dado \displaystyle \frac{d\theta}{dt} = \frac{1}{90} rad/min. Substituindo:
\frac{dc}{dt} = \frac{12\cdot15\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}}{3\sqrt{21}}\cdot\frac{1}{90} = \frac{180\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}}{3\sqrt{21}\cdot90} = \frac{90\sqrt{3}}{270\sqrt{21}} = \frac{\sqrt{3}}{3\sqrt{21}} = \frac{\sqrt{7}}{21}\\ \text{m/min}.

Resposta

\frac{dc}{dt} = \frac{\sqrt{7}}{21}\\ \text{m/min}.

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