Mostre que integral-infty^infty 11+x^2 d x=pi.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
integral-infty^infty11+x^2,dx
O conteúdo aqui é integração de funções racionais e tratamento de integrais impróprias. Para resolver, vamos usar que a primitiva de tfrac11+x^2 é arctan(x) e em seguida estudar limites.

Passo 2

Escrevemos a integral sobre toda a reta como um limite de integrais em intervalos simétricos:
integral-infty^infty11+x^2,dx =limAtoinftyintegral-A^A11+x^2,dx

Passo 3

Encontrar a primitiva. Sabemos que
ddxl(arctan(x)r) =11+x^2,
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integral11+x^2,dx =arctan(x)+C

Passo 4

Aplicamos o teorema fundamental do cálculo em [-A,A]:
integral-A^A11+x^2,dx =l[arctan(x)r]-A^A =arctan(A)-arctan(-A)
Como arctan(-A)=-arctan(A), isso vale
arctan(A)-(-arctan(A)) =2,arctan(A)

Passo 5

Fazendo Atoinfty, usamos o limite
limAtoinftyarctan(A)=pi2
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limAtoinfty2,arctan(A) =2cdotpi2 =pi

Resposta

integral-infty^infty11+x^2,dx=pi.

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