Resolva as equações:
(b) y^2+cos x+(2 x y+e^y) d yd x=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial y^2 + cos x + (2xy + e^y) dydx = 0 . Esse tipo de equação pertence ao estudo de equações diferenciais exatas. Para resolver, precisamos identificar se a equação é exata e, se for, encontrar uma função que satisfaça essa condição.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação na forma padrão de uma equação diferencial exata, que é M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 .
Nossa equação fica:
( y^2 + cos x ) dx + ( 2xy + e^y ) dy = 0
Aqui, identificamos:
  • M(x, y) = y^2 + cos x
  • N(x, y) = 2xy + e^y

Passo 3

Para verificar se a equação é exata, precisamos checar se a derivada parcial de M em relação a y é igual à derivada parcial de N em relação a x :
partial Mpartial y = partialpartial y (y^2 + cos x) = 2y
partial Npartial x = partialpartial x (2xy + e^y) = 2y
Como partial Mpartial y = partial Npartial x , a equação é realmente exata.

Passo 4

Sabendo que a equação é exata, existe uma função F(x, y) tal que:
partial Fpartial x = M(x, y)
partial Fpartial y = N(x, y)
Para encontrar F(x, y) , integramos M(x, y) em relação a x :
F(x, y) = integral (y^2 + cos x) dx = y^2 x + sin x + h(y)
Onde h(y) é uma função que depende apenas de y .

Passo 5

Agora, derivamos F(x, y) em relação a y e igualamos a N(x, y) para encontrar h(y) :
partial Fpartial y = 2xy + h'(y) = 2xy + e^y
Comparando os termos, temos:
h'(y) = e^y
Integrando h'(y) :
h(y) = e^y + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 6

Substituindo h(y) na expressão de F(x, y) , temos:
F(x, y) = y^2 x + sin x + e^y
A solução geral da equação diferencial é dada por:
F(x, y) = C
Ou seja:
y^2 x + sin x + e^y = C

Resposta

A solução geral da equação diferencial é y^2 x + sin x + e^y = C , onde C é uma constante.

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