Resolva as equações:
(b)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
. Esse tipo de equação pertence ao estudo de equações diferenciais exatas. Para resolver, precisamos identificar se a equação é exata e, se for, encontrar uma função que satisfaça essa condição.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação na forma padrão de uma equação diferencial exata, que é
.
Nossa equação fica:
Aqui, identificamos:
Passo 3
Para verificar se a equação é exata, precisamos checar se a derivada parcial de
em relação a
é igual à derivada parcial de
em relação a
:
Como
, a equação é realmente exata.
Passo 4
Sabendo que a equação é exata, existe uma função
tal que:
Para encontrar
, integramos
em relação a
:
Onde
é uma função que depende apenas de
.
Passo 5
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
para encontrar
:
Comparando os termos, temos:
Integrando
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Substituindo
na expressão de
, temos:
A solução geral da equação diferencial é dada por:
Ou seja:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é
, onde
é uma constante.