Encontre valores para os parâmetros em cada item para que a função

Passo 1

O enunciado nos dá a função por partes
f(x)= a,x(x-1)+3, & x<b, 10-(x-2)(x-8), & x>= b,
e pede valores de a e b tais que f seja contínua e derivável em x=b. Para isso precisamos impor:
  1. continuidade em x=b, isto é, o valor à esquerda em b deve igualar o valor à direita em b;
  2. derivabilidade em x=b, isto é, as derivadas laterais em b devem coincidir.

Passo 2

Condição de continuidade em x=b:
o limite pela esquerda é
limxto b^-f(x)=a,b(b-1)+3
e o valor pela direita (e no próprio ponto) é
f(b)=10-(b-2)(b-8)=-b^2+10b-6
Portanto,
a,b(b-1)+3=-b^2+10b-6

Passo 3

Condição de derivabilidade em x=b:
a derivada à esquerda é
f'-(x)=a,(2x-1) Longrightarrow f'-(b)=a,(2b-1),
e a derivada à direita é
f'+(x)=-ddxl(x^2-10x+16r) =-2x+10 Longrightarrow f'+(b)=10-2b
Igualando essas derivadas:
a,(2b-1)=10-2b

Passo 4

Resolvendo o sistema
a,b(b-1)+3=-b^2+10b-6, a,(2b-1)=10-2b,
da segunda equação isolamos
a=10-2b2b-1 (bneqtfrac12),
e substituímos na primeira. O sistema reduz-se, após manipulação algébrica, a
(b-1)^2=0
de onde b=1. Voltando em a=(10-2b)/(2b-1)
a=10-2cdot12cdot1-1=81=8

Resposta

a=8, b=1.

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