Questão 2: (1,5 Pontos) Um estudo indicou que o custo C(x), em milhares de reais, para a produção de x unidades de certo equipamento industrial é dado por
C(x)=0,02 x^3+0,6 x^2-0,4 x+20
Considere que o valor médio de uma função, denominado Vmf, em um dado intervalo [a, b], a qual seja diferenciável neste intervalo, é dado por
Vmf=1b-a integrala^b C(x) d x
Calcule o valor médio do custo de produção, em milhares de reais, para um intervalo de 20 a 40 equipamentos.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre calcular o valor médio do custo de produção de um equipamento industrial no intervalo de produção de 20 a 40 unidades. Para isso, vamos usar conceitos de Cálculo Integral, especificamente a fórmula do valor médio de uma função. Precisamos entender como aplicar essa fórmula para encontrar o custo médio nesse intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula do valor médio de uma função. Se você tem uma função C(x) que representa o custo em milhares de reais para produzir x unidades, o valor médio Vmf no intervalo [a, b] é dado por:
Vmf = 1b - a integrala^b C(x) , dx
Aqui, integrala^b C(x) , dx representa a área sob a curva de C(x) entre x = a e x = b , e dividimos essa área pelo comprimento do intervalo (b - a) para obter a média.

Passo 3

Vamos identificar os valores que temos:
  • a = 20
  • b = 40
  • C(x) = 0,02x^3 + 0,6x^2 - 0,4x + 20
Primeiro, precisamos calcular a integral de C(x) de 20 a 40:
integral20^40 (0,02x^3 + 0,6x^2 - 0,4x + 20) dx
Vamos integrar termo a termo:
integral 0,02x^3 dx = 0,02 cdot x^44 = 0,005x^4
integral 0,6x^2 dx = 0,6 cdot x^33 = 0,2x^3
integral -0,4x dx = -0,4 cdot x^22 = -0,2x^2
integral 20 dx = 20x
Então, a integral completa fica:
0,005x^4 + 0,2x^3 - 0,2x^2 + 20x g|20^40

Passo 4

Agora, vamos calcular essa expressão para x = 40 e x = 20 e depois subtrair:
Para x = 40 :
0,005(40)^4 + 0,2(40)^3 - 0,2(40)^2 + 20(40)
= 0,005 cdot 2560000 + 0,2 cdot 64000 - 0,2 cdot 1600 + 800
= 12800 + 12800 - 320 + 800
= 25180
Para x = 20 :
0,005(20)^4 + 0,2(20)^3 - 0,2(20)^2 + 20(20)
= 0,005 cdot 160000 + 0,2 cdot 8000 - 0,2 cdot 400 + 400
= 800 + 1600 - 80 + 400
= 2720
Agora, subtraímos os dois resultados:
25180 - 2720 = 22460

Passo 5

Finalmente, aplicamos a fórmula do valor médio:
Vmf = 140 - 20 times 22460 = 2246020 = 1123

Resposta

O valor médio do custo de produção é de 1123 milhares de reais.

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