Questão 2: (1,5 Pontos) Um estudo indicou que o custo , em milhares de reais, para a produção de unidades de certo equipamento industrial é dado por
Considere que o valor médio de uma função, denominado , em um dado intervalo , a qual seja diferenciável neste intervalo, é dado por
Calcule o valor médio do custo de produção, em milhares de reais, para um intervalo de 20 a 40 equipamentos.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre calcular o valor médio do custo de produção de um equipamento industrial no intervalo de produção de 20 a 40 unidades. Para isso, vamos usar conceitos de Cálculo Integral, especificamente a fórmula do valor médio de uma função. Precisamos entender como aplicar essa fórmula para encontrar o custo médio nesse intervalo.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a fórmula do valor médio de uma função. Se você tem uma função que representa o custo em milhares de reais para produzir unidades, o valor médio no intervalo é dado por:
Aqui, representa a área sob a curva de entre e , e dividimos essa área pelo comprimento do intervalo para obter a média.
Passo 3
Vamos identificar os valores que temos:
Primeiro, precisamos calcular a integral de de 20 a 40:
Vamos integrar termo a termo:
Então, a integral completa fica:
Passo 4
Agora, vamos calcular essa expressão para x = 40 e x = 20 e depois subtrair: