Encontre valores de r para que y=x^{r} seja solução para a equação diferencial
x^{2} y^{\prime \prime}-y=0 . \quad\left(y^{\prime}=\frac{d y}{d x}\right)

Passo 1

O enunciado pede valores de r tais que
x^{2}y''-y=0
admita como solução a função
y=x^{r}.
Este é um caso de equação de Euler–Cauchy, em que procuramos soluções do tipo potência.

Passo 2

Para y=x^{r} calculamos as derivadas:
y' = \frac{d}{dx}(x^{r}) = r\,x^{r-1},
y'' = \frac{d}{dx}\bigl(r\,x^{r-1}\bigr) = r(r-1)\,x^{r-2}.
Substituindo em x^{2}y''-y=0 obtemos
x^{2}\bigl[r(r-1)\,x^{r-2}\bigr] - x^{r} = r(r-1)\,x^{r} - x^{r} = \bigl[r(r-1)-1\bigr]x^{r} = 0.

Passo 3

Como x^{r}\neq0 para x>0, exige-se
r(r-1)-1=0 \quad\Longrightarrow\quad r^{2}-r-1=0.
Resolvendo a equação quadrática:
r = \frac{1\pm\sqrt{1+4}}{2} = \frac{1\pm\sqrt{5}}{2}.

Resposta

r = \frac{1+\sqrt{5}}{2} \quad\text{ou}\quad r = \frac{1-\sqrt{5}}{2}.

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