Mostre que
e
são ambas soluções para
As funções,
e
, com
e
constantes arbitrárias, são também soluções? A soma
é uma solução?
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que as funções
e
satisfazem a equação diferencial
Este é um caso de equação linear homogênea de segunda ordem com coeficientes variáveis. Para verificar se uma dada função é solução, calculamos suas derivadas primeira e segunda e substituímos na equação.
Passo 2
Vamos verificar
.
Calculemos as derivadas:
Calculemos as derivadas:
Substituindo em
, obtemos:
Logo,
satisfaz a equação.
Passo 3
Agora
.
Suas derivadas são
Suas derivadas são
Substituindo em
:
Assim,
também é solução.
Passo 4
Como a equação é linear e homogênea, se
é solução então, para qualquer constante
,
também é solução. Logo,
e
são soluções, pois basta multiplicar cada termo da equação por
ou
e conservar o zero.
Passo 5
Ainda pela propriedade de linearidade, a soma de duas soluções de uma equação homogênea é outra solução. Portanto
é solução, pois o operador
satisfaz
Resposta
Sim. As funções
e
são soluções, e a soma
também é solução.