Mostre que y_{1}=x^{2} e y_{2}=x^{3} são ambas soluções para
x^{2} y^{\prime \prime}-4 x y^{\prime}+6 y=0
As funções, c_{1} y_{1} e c_{2} y_{2}, com c_{1} e c_{2} constantes arbitrárias, são também soluções? A soma c_{1} y_{1}+c_{2} y_{2} é uma solução?

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que as funções \,y_{1}=x^{2} e \,y_{2}=x^{3} satisfazem a equação diferencial
x^{2}y''-4xy'+6y=0.
Este é um caso de equação linear homogênea de segunda ordem com coeficientes variáveis. Para verificar se uma dada função é solução, calculamos suas derivadas primeira e segunda e substituímos na equação.

Passo 2

Vamos verificar y_{1}=x^{2}.
Calculemos as derivadas:
y_{1}' = \frac{d}{dx}(x^{2}) = 2x, \qquad y_{1}'' = \frac{d}{dx}(2x) = 2.
Substituindo em x^{2}y''-4xy'+6y, obtemos:
x^{2}\cdot 2 \;-\;4x\cdot(2x)\;+\;6\cdot(x^{2}) =2x^{2}-8x^{2}+6x^{2}=(2-8+6)x^{2}=0\cdot x^{2}=0.
Logo, y_{1}=x^{2} satisfaz a equação.

Passo 3

Agora y_{2}=x^{3}.
Suas derivadas são
y_{2}' = 3x^{2}, \qquad y_{2}'' = 6x.
Substituindo em x^{2}y''-4xy'+6y:
x^{2}\cdot(6x)\;-\;4x\cdot(3x^{2})\;+\;6\cdot(x^{3}) =6x^{3}-12x^{3}+6x^{3}=(6-12+6)x^{3}=0\cdot x^{3}=0.
Assim, y_{2}=x^{3} também é solução.

Passo 4

Como a equação é linear e homogênea, se y é solução então, para qualquer constante c, c\,y também é solução. Logo, c_{1}y_{1} e c_{2}y_{2} são soluções, pois basta multiplicar cada termo da equação por c_{1} ou c_{2} e conservar o zero.

Passo 5

Ainda pela propriedade de linearidade, a soma de duas soluções de uma equação homogênea é outra solução. Portanto
y = c_{1}y_{1}+c_{2}y_{2}
é solução, pois o operador
L[y]=x^{2}y''-4xy'+6y
satisfaz
L[c_{1}y_{1}+c_{2}y_{2}] = c_{1}L[y_{1}]+c_{2}L[y_{2}] = c_{1}\cdot0 + c_{2}\cdot0 = 0.

Resposta

Sim. As funções c_{1}y_{1} e c_{2}y_{2} são soluções, e a soma c_{1}y_{1}+c_{2}y_{2} também é solução.

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