Encontre valores de r para que y=e^{r t} seja solução para a equação diferencial
y^{\prime \prime}-5 y^{\prime}+6 y=0 . \quad\left(y^{\prime}=\frac{d y}{d t}\right)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os valores de r tais que a função
y = e^{r t}
satisfaça a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' - 5y' + 6y = 0.
Isso é feito substituindo o “trial solution” exponencial na equação e obtendo a equação característica.

Passo 2

Calculemos as derivadas de y:
y = e^{r t} \quad\Longrightarrow\quad y' = \frac{d}{dt}\bigl(e^{r t}\bigr) = r\,e^{r t}, \quad y'' = \frac{d}{dt}\bigl(r\,e^{r t}\bigr) = r^2 e^{r t}.

Passo 3

Substituindo y, y' e y'' na equação diferencial, temos
y'' - 5y' + 6y = r^2 e^{r t} \;-\; 5\bigl(r\,e^{r t}\bigr) \;+\; 6\bigl(e^{r t}\bigr) = \bigl(r^2 - 5r + 6\bigr)\,e^{r t}.
Como e^{r t}\neq0 para todo t, a condição para ser solução é
r^2 - 5r + 6 = 0,
que é a chamada equação característica.

Passo 4

Resolva a equação quadrática
r^2 - 5r + 6 = 0.
Fatorando,
r^2 - 5r + 6 = (r - 2)(r - 3) = 0
portanto as raízes são
r = 2 \quad\text{e}\quad r = 3.

Resposta

Os valores de r que fazem y=e^{r t} solução da equação dada são
r = 2 \quad\text{e}\quad r = 3.

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