Nos itens (a-f), classifique as equações diferenciais dizendo se elas são lineares ou não-lineares. Dê também a ordem de cada equação.
(\sin \theta) \frac{d^{3} r}{d \theta^{3}}+(\cos \theta) \frac{d r}{d \theta}+1=0.

Passo 1

O enunciado apresenta a equação diferencial
(\sin\theta)\,\frac{d^{3}r}{d\theta^{3}} \;+\; (\cos\theta)\,\frac{dr}{d\theta} \;+\; 1 \;=\; 0
e pede para classificá-la quanto à linearidade e informar sua ordem.

Passo 2

Para encontrar a ordem, observamos o maior índice de derivada de r. Aqui aparece \tfrac{d^{3}r}{d\theta^{3}}, logo trata-se de uma equação de ordem 3.

Passo 3

Uma EDO é dita linear se r e suas derivadas aparecem apenas de forma linear (sem produtos entre elas nem potências) e são multiplicadas por funções da variável independente \theta. Nesta equação temos:
  • \sin\theta multiplicando \tfrac{d^{3}r}{d\theta^{3}},
  • \cos\theta multiplicando \tfrac{dr}{d\theta},
  • o termo constante 1, que é termo não homogêneo mas não afeta a linearidade.
Não há termos como \bigl(dr/d\theta\bigr)^{2}, r\cdot dr/d\theta ou funções não lineares de r. Portanto, a equação é linear (embora não homogênea).

Resposta

A equação é linear de ordem 3.

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