Encontre os valores x que satisfaz cada uma das seguintes desigualdades:
§ x-37-x >= 1x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a desigualdade racional
x-37-x ;>=; 1x
O conteúdo é resolução de desigualdades envolvendo frações: vamos determinar o domínio, juntar tudo num único quociente e fazer análise de sinais.

Passo 2

Primeiro identifiquemos o domínio. As expressões x-37-x e 1x exigem que
7-x neq 0Longrightarrow x neq 7,
x neq 0
Agora escrevemos tudo num único lado e colocamos num mesmo denominador:
x-37-x - 1x ;>=; 0 Longrightarrow x(x-3)-(7-x)x(7-x) ;>=; 0

Passo 3

Calculemos o numerador e identifiquemos suas raízes:
N(x)=x(x-3)-(7-x)=x^2-3x-7+x=x^2-2x-7
As raízes de N(x)=0 são
x=2pmraiz4+282 =2pmraiz322 =1pm 2raiz2
O denominador se anula em x=0 e x=7. Os pontos críticos são
1-2raiz2,;0,;1+2raiz2,;7

Passo 4

Fazemos o estudo de sinais de
N(x)x(7-x) =x^2-2x-7x(7-x)
Em cada intervalo determinado pelos críticos, testamos o sinal de numerador e denominador:
  • Para x<1-2raiz2: numerador >!0, denominador ;x<0,;7-x>0;Rightarrow denom <0. Quociente <0.
  • Em 1-2raiz2<x<0: numerador <0, denominador <0 Rightarrow quociente >0.
  • Em 0<x<1+2raiz2: numerador <0, denominador >0 Rightarrow quociente <0.
  • Em 1+2raiz2<x<7: numerador >0, denominador >0 Rightarrow quociente >0.
  • Para x>7: numerador >0, denominador <0 Rightarrow quociente <0.

Passo 5

Queremos N(x)x(7-x)>=0, isto é, quociente não-negativo. Isso ocorre quando ele é positivo ou zero. Ele zera exatamente em x=1-2raiz2 e x=1+2raiz2, pontos em que o denominador é não nulo. Portanto a solução é a união dos intervalos onde o quociente é positivo, incluindo as raízes do numerador e excluindo 0 e 7:
xin [,1-2raiz2,;0);cup;[,1+2raiz2,;7)

Resposta

boxedxin [,1-2raiz2,;0);cup;[,1+2raiz2,;7)

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