Encontre os valores de
para os quais
satisfaz a equação
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os valores de
que fazem com que a função
satisfaz a equação diferencial
. Para isso, vamos precisar saber como calcular derivadas e montar a equação usando essas derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a primeira derivada de
em relação a
. A função é
. Sabemos que a derivada de
em relação a
é
. Então,
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada de
. Basta derivar novamente
:
Passo 4
Vamos substituir
,
e
na equação dada
:
Passo 5
Como
é diferente de zero, podemos dividir todos os termos por
para simplificar:
Passo 6
Agora, temos uma equação quadrática em termos de
. Vamos rearranjá-la para a forma padrão:
Passo 7
Para resolver essa equação quadrática, usamos a fórmula de Bhaskara:
Aqui,
,
, e
. Substituindo:
Simplificando
para
:
Resposta
Os valores de
que satisfazem a equação são: