Encontre os valores de lambda para os quais y=e^2 lambda x satisfaz a equação y+y^prime=y^prime prime.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os valores de lambda que fazem com que a função y = e^2lambda x satisfaz a equação diferencial y + y' = y''. Para isso, vamos precisar saber como calcular derivadas e montar a equação usando essas derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a primeira derivada de y em relação a x. A função é y = e^2lambda x. Sabemos que a derivada de e^kx em relação a x é k e^kx. Então,
y' = dydx = 2lambda e^2lambda x

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada de y. Basta derivar novamente y':
y'' = d^2ydx^2 = ddx (2lambda e^2lambda x) = 4lambda^2 e^2lambda x

Passo 4

Vamos substituir y, y' e y'' na equação dada y + y' = y'':
e^2lambda x + 2lambda e^2lambda x = 4lambda^2 e^2lambda x

Passo 5

Como e^2lambda x é diferente de zero, podemos dividir todos os termos por e^2lambda x para simplificar:
1 + 2lambda = 4lambda^2

Passo 6

Agora, temos uma equação quadrática em termos de lambda. Vamos rearranjá-la para a forma padrão:
4lambda^2 - 2lambda - 1 = 0

Passo 7

Para resolver essa equação quadrática, usamos a fórmula de Bhaskara:
lambda = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Aqui, a = 4, b = -2, e c = -1. Substituindo:
lambda = -(-2) pm raiz(-2)^2 - 4 cdot 4 cdot (-1)2 cdot 4 = 2 pm raiz4 + 168 = 2 pm raiz208
Simplificando raiz20 para 2raiz5:
lambda = 2 pm 2raiz58 = 1 pm raiz54

Resposta

Os valores de lambda que satisfazem a equação são:
lambda = 1 + raiz54 e lambda = 1 - raiz54

Exercícios relacionados