Sejam z=3+i e w=1+i 2. Determine os valores possíveis da constante real lambda tal que |lambda+zw|=raizlambda+2.

Passo 1

O enunciado dá os números complexos z=3+i e w=1+2i e pede os valores reais de lambda que satisfazem
|lambda+zw|=raizlambda+2
O conteúdo envolve divisão de complexos, cálculo de módulo e resolução de equação com radical. Além disso, o radicando exige lambda+2>=0, ou seja, lambda>=-2.

Passo 2

Vamos calcular a fração zw. Usamos o conjugado de w:
zw =3+i1+2i =(3+i)(1-2i)1^2+(2)^2 =3-6i+i-2i^25 =5-5i5 =1-i

Passo 3

Substituindo em |lambda+zw|, obtemos
|lambda+(1-i)| =l|(lambda+1)-ir| =raiz(lambda+1)^2+(-1)^2 =raiz(lambda+1)^2+1
A equação original vira
raiz(lambda+1)^2+1=raizlambda+2

Passo 4

Elevando ambos os lados ao quadrado:
(lambda+1)^2+1=lambda+2 Longrightarrow lambda^2+2lambda+1+1=lambda+2 Longrightarrow lambda^2+lambda=0 Longrightarrow lambda(lambda+1)=0
Logo as soluções algébricas são lambda=0 e lambda=-1.

Passo 5

Verificamos o domínio lambda>=-2: ambos 0 e -1 satisfazem. Substituindo de volta na equação original confirma-se que os dois valem.

Resposta

lambda=0 ou lambda=-1.

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