Encontre os valores das seguintes funções trigonométricas inversas:
cos (arctan x);

Passo 1

O enunciado pede para calcular cos(arctan x). O conteúdo é composição de função trigonométrica com sua inversa, e vamos usar a identidade trigonométrica
1 + tan^2theta = sec^2theta
além de considerar que, para theta = arctan x, temos thetain(-tfracpi2,tfracpi2), onde o cosseno é positivo.

Passo 2

Seja theta = arctan x. Então por definição
tantheta = x. Aplicando a identidade
sec^2theta = 1 + tan^2theta
temos
sec^2theta = 1 + x^2
Como thetain(-tfracpi2,tfracpi2), sectheta>0, logo
sectheta = raiz1 + x^2

Passo 3

Lembrando que sectheta = 1costheta, segue
costheta = 1sectheta = 1raiz1 + x^2
Como theta = arctan x, concluímos
cos(arctan x) = 1raiz1 + x^2

Resposta

cos(arctan x) = 1raiz1 + x^2

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