Para que valores de alpha a equação
(1-alpha) x^2+(alpha+1) x-2=0, possui duas raízes diferentes?

Passo 1

O enunciado nos dá a equação (1-alpha)x^2+(alpha+1)x-2=0, que é uma equação polinomial em x. O conteúdo é reconhecimento de equação do segundo grau e uso do discriminante. Para ter duas raízes reais e distintas, precisamos que o coeficiente de x^2 seja diferente de zero e que o discriminante seja estritamente positivo.

Passo 2

Identificamos os coeficientes:
a = 1-alpha, b = alpha+1, c = -2
Para que seja de segundo grau, é necessário a neq 0, ou seja,
1-alpha neq 0Longrightarrow alpha neq 1

Passo 3

Calculamos o discriminante De<a = b^2-4ac. Substituindo,
De<a = (alpha+1)^2 - 4,(1-alpha),(-2)
Em conta:
De<a = (alpha+1)^2 + 8,(1-alpha) = alpha^2+2alpha+1 + 8 -8alpha = alpha^2 -6alpha +9 = (alpha-3)^2

Passo 4

Para ter duas raízes reais e distintas, exigimos De<a >0, ou seja,
(alpha-3)^2 > 0 Longrightarrow alpha neq 3

Passo 5

Juntando as condições, precisamos de alpha neq 1 (ser quadrático) e alpha neq 3 (discriminante positivo).

Resposta

alpha neq 1 e alpha neq 3.

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