Nos Exercícios de 1 a 8, use uma representação paramétrica de C ou dos arcos de C para calcular
integralC f(z) d z
f(z)=z-1 e C é o arco de z=0 até z=2 consistindo
(a) no semicírculo z=1+e^i theta(pi <= theta <= 2 pi);

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral de uma função complexa f(z) = z - 1 ao longo de um caminho C . Esse caminho C é uma semicircunferência que vai de z = 0 até z = 2 , especificamente definida por z = 1 + e^i theta com pi <= theta <= 2pi . Vamos precisar usar parametrização de curvas no plano complexo e entender como integrar funções complexas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o caminho C . A equação z = 1 + e^i theta descreve uma circunferência de raio 1 centrada em z = 1 no plano complexo. O parâmetro theta varia de pi a 2pi , o que significa que estamos percorrendo a semicircunferência de z = 0 até z = 2 no sentido horário.

Passo 3

Para calcular a integral integralC f(z) , dz , vamos parametrizar z em termos de theta . Sabemos que:
z(theta) = 1 + e^i theta
Agora, precisamos encontrar dz em termos de dtheta . Derivando z(theta) em relação a theta :
dzdtheta = i e^i theta implies dz = i e^i theta dtheta

Passo 4

Substituindo z(theta) e dz na integral original:
integralC (z - 1) , dz = integralpi^2pi ( (1 + e^i theta) - 1 ) cdot i e^i theta dtheta
Simplificando dentro da integral:
(z - 1) = e^i theta
Então a integral fica:
integralpi^2pi e^i theta cdot i e^i theta dtheta = i integralpi^2pi e^2i theta dtheta

Passo 5

Agora, vamos resolver a integral i integralpi^2pi e^2i theta dtheta . Sabemos que:
integral e^k theta dtheta = 1k e^k theta + C
Aplicando isso com k = 2i :
i cdot 12i e^2i theta |pi^2pi = i2i ( e^4i pi - e^2i pi )
Simplificando i2i = 12 e usando que e^2i pi = 1 e e^4i pi = 1 :
12 (1 - 1) = 0

Resposta

A integral integralC (z - 1) , dz vale zero.

Exercícios relacionados