Nos Exercícios de 1 a 8, use uma representação paramétrica de ou dos arcos de para calcular
é o arco de até consistindo
(a) no semicírculo ;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral de uma função complexa ao longo de um caminho . Esse caminho é uma semicircunferência que vai de até , especificamente definida por com . Vamos precisar usar parametrização de curvas no plano complexo e entender como integrar funções complexas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o caminho . A equação descreve uma circunferência de raio 1 centrada em no plano complexo. O parâmetro varia de a , o que significa que estamos percorrendo a semicircunferência de até no sentido horário.
Passo 3
Para calcular a integral , vamos parametrizar em termos de . Sabemos que:
Agora, precisamos encontrar em termos de . Derivando em relação a :
Passo 4
Substituindo e na integral original:
Simplificando dentro da integral:
Então a integral fica:
Passo 5
Agora, vamos resolver a integral . Sabemos que:
Aplicando isso com :
Simplificando i2i = 12 e usando que e^2i pi = 1 e e^4i pi = 1 :