Encontre os valores das seguintes funções trigonométricas inversas:
sen(2 arctg 34)+tg(12 arcsen 513);

Passo 1

O enunciado pede para calcular
sin!l(2arctan34r);+;tan!l(tfrac12arcsin513r)
Vamos usar identidades de ângulo duplo para a parte com arctan e meia-ângulo para a parte com arcsin, construindo triângulos retângulos quando necessário.

Passo 2

Seja theta=arctan34. Então tantheta=tfrac34. Num triângulo retângulo com catetos 3 e 4, a hipotenusa vale 5, logo
sintheta=35, costheta=45
Pela identidade de ângulo duplo,
sin(2theta)=2sinthetacostheta =2cdot35cdot45 =2425
Portanto
sin!l(2arctan34r)=2425

Passo 3

Seja phi=arcsin513. Então sinphi=tfrac513. Num triângulo retângulo correspondente, o cateto adjacente vale raiz13^2-5^2=12, logo
cosphi=1213
Usamos a fórmula de meia-ângulo para tangente,
tanphi2 =sinphi1+cosphi =tfrac5131+tfrac1213 =tfrac513tfrac2513 =525 =15
Assim
tan!l(tfrac12arcsin513r)=15

Passo 4

Somando as duas partes:
2425+15 =2425+525 =2925

Resposta

2925

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