Nos Exercícios de 1 a 8, use uma representação paramétrica de
ou dos arcos de
para calcular
o ramo principal
da função potência dada, e C é o caminho definido por
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para calcular uma integral de uma função complexa ao longo de um caminho específico no plano complexo. A função que vamos integrar é
, e o caminho
é definido por
onde
varia de
a
. Para resolver isso, vamos usar representações paramétricas de caminhos no plano complexo e aplicar conceitos de integração de funções complexas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa representar o caminho
de forma paramétrica. A equação
descreve um círculo unitário no plano complexo, onde
é o ângulo que varia de
a
. Isso significa que
é um arco do círculo unitário que vai do ponto
até
.
Passo 3
Para calcular a integral
, precisamos expressar
em termos de
. Sabemos que
, então derivando ambos os lados em relação a
, temos:
Passo 4
Agora, substituímos
e
na integral:
Simplificando
:
Passo 5
Substituindo de volta na integral:
Os termos
e
se cancelam:
Passo 6
Agora, temos uma integral mais simples:
A integral de
em relação a
é
, então:
Resposta
A integral vale
.