Nos Exercícios de 1 a 8, use uma representação paramétrica de C ou dos arcos de C para calcular
integralC f(z) d z
f(z) in o ramo principal
z^-1-2 i=exp [(-1-2 i) log z] (|z|>0,-pi<Arg z<pi)
da função potência dada, e C é o caminho definido por
z=e^i theta (0 <= theta <= pi2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para calcular uma integral de uma função complexa ao longo de um caminho específico no plano complexo. A função que vamos integrar é f(z) = z^-1-2i , e o caminho C é definido por z = e^itheta onde theta varia de 0 a pi2 . Para resolver isso, vamos usar representações paramétricas de caminhos no plano complexo e aplicar conceitos de integração de funções complexas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa representar o caminho C de forma paramétrica. A equação z = e^itheta descreve um círculo unitário no plano complexo, onde theta é o ângulo que varia de 0 a pi2 . Isso significa que C é um arco do círculo unitário que vai do ponto z = 1 até z = i .

Passo 3

Para calcular a integral integralC f(z) , dz , precisamos expressar dz em termos de theta . Sabemos que z = e^itheta , então derivando ambos os lados em relação a theta , temos:
dzdtheta = i e^itheta Rightarrow dz = i e^itheta dtheta

Passo 4

Agora, substituímos z e dz na integral:
integralC z^-1-2i , dz = integral0^pi2 ( e^itheta )^-1-2i cdot i e^itheta , dtheta
Simplificando ( e^itheta )^-1-2i :
( e^itheta )^-1-2i = e^(-1-2i) itheta = e^-itheta - 2i^2 theta = e^-itheta + 2theta = e^2theta - itheta

Passo 5

Substituindo de volta na integral:
integral0^pi2 e^2theta - itheta cdot i e^itheta , dtheta = i integral0^pi2 e^2theta - itheta cdot e^itheta , dtheta
Os termos e^-itheta e e^itheta se cancelam:
i integral0^pi2 e^2theta , dtheta

Passo 6

Agora, temos uma integral mais simples:
i integral0^pi2 e^2theta , dtheta
A integral de e^2theta em relação a theta é 12 e^2theta , então:
i [ 12 e^2theta ]0^pi2 = i2 ( e^pi - 1 )

Resposta

A integral vale i2 ( e^pi - 1 ) .

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