Simplifique:
cotg 60^circ+tg 40^circ+cotg 40^circ+cotg 30^circ

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão
cotg 60^circ + tg 40^circ + cotg 40^circ + cotg 30^circ
O conteúdo principal é usar identidades de trigonometria para tangente e cotangente, além de relações de ângulos complementares.

Passo 2

Usamos que cotg x = tg(90^circ - x). Portanto
cotg 60^circ = tg 30^circ, cotg 30^circ = tg 60^circ
A expressão vira
tg 30^circ + tg 40^circ + cotg 40^circ + tg 60^circ

Passo 3

Agrupamos tg 40^circ + cotg 40^circ. Sabemos que
tg x + cotg x = tg x + 1tg x = tg^2 x + 1tg x = sec^2 xtg x = 1sin xcos x = 2sin(2x)
Logo, para x=40^circ,
tg 40^circ + cotg 40^circ = 2sin 80^circ

Passo 4

Substituindo e usando tan 30^circ = tfrac1raiz3, tan 60^circ = raiz3 e sin 80^circ = cos 10^circ, obtemos
tg 30^circ + tg 60^circ = 1raiz3 + raiz3 = 4raiz3,
tg 40^circ + cotg 40^circ = 2sin 80^circ = 2cos 10^circ
Somando tudo,
cotg 60^circ + tg 40^circ + cotg 40^circ + cotg 30^circ = 4raiz3 + 2cos 10^circ

Passo 5

Reconhecendo 4raiz3=2sec 30^circ e 2cos 10^circ=2sec 10^circ, a forma mais compacta é
2l(sec 30^circ + sec 10^circr)

Resposta

2l(sec 30^circ + sec 10^circr)

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