Encontre os valores de seja contínua em todo (\mathbb{R}].
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os valores de
e
para que a função
seja contínua em todos os números reais. Isso envolve o estudo de continuidade de funções, garantindo que não tem “saltos” ou “quebras” no gráfico da função.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função é contínua em um ponto
se o limite quando
se aproxima de
é igual ao valor da função em
. No nosso caso, queremos que a função seja contínua em
, onde a definição da função muda.
Passo 3
Vamos achar o limite de
quando
se aproxima de 2 pela esquerda (
) e pela direita (
), e igualar esses limites ao valor da função em
.
Passo 4
Primeiro, o limite pela esquerda:
Passo 5
Agora, o limite pela direita:
Passo 6
Como a função deve ser contínua, os limites devem ser iguais:
Essa é a nossa primeira equação.
Passo 7
Além disso, para garantir que a função não tem “pulos” em nenhum outro ponto, precisamos que as duas partes da função estejam bem definidas em seu domínio. Mas, como as partes são polinomiais (que são sempre contínuas), não precisamos de mais equações.
Passo 8
Então, temos apenas uma equação:
Mas precisamos de mais uma equação para encontrar os valores únicos de
e
. Como não temos outra condição, podemos assumir que a função está apenas exigindo continuidade, e podemos atribuir um valor a
ou
e encontrar o outro.
Passo 9
Mas, na verdade, há uma interpretação melhor: a função precisa ser contínua em todos os reais, e como as partes são polinomiais, a única condição necessária é a continuidade em
. Então, podemos expressar
em termos de
:
Isso nos dá uma relação entre
e
, mas sem valores específicos.
Passo 10
Portanto, há infinitas soluções possíveis, desde que
. Por exemplo, se
, então
; se
, então
, e assim por diante.
Resposta
Os valores de
e
devem satisfazer a relação
. Assim, qualquer par
que respeite
torna a função contínua em todo
.