Encontre os valores de seja contínua em todo (\mathbb{R}].

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os valores de a e b para que a função
f(x)= a x+b, & x<2 x^2, & x >= 2
seja contínua em todos os números reais. Isso envolve o estudo de continuidade de funções, garantindo que não tem “saltos” ou “quebras” no gráfico da função.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função é contínua em um ponto c se o limite quando x se aproxima de c é igual ao valor da função em c . No nosso caso, queremos que a função seja contínua em x = 2 , onde a definição da função muda.

Passo 3

Vamos achar o limite de f(x) quando x se aproxima de 2 pela esquerda ( x to 2^- ) e pela direita ( x to 2^+ ), e igualar esses limites ao valor da função em x = 2 .

Passo 4

Primeiro, o limite pela esquerda:
limx to 2^- f(x) = limx to 2^- (a x + b) = a cdot 2 + b = 2a + b

Passo 5

Agora, o limite pela direita:
limx to 2^+ f(x) = limx to 2^+ x^2 = 2^2 = 4

Passo 6

Como a função deve ser contínua, os limites devem ser iguais:
2a + b = 4
Essa é a nossa primeira equação.

Passo 7

Além disso, para garantir que a função não tem “pulos” em nenhum outro ponto, precisamos que as duas partes da função estejam bem definidas em seu domínio. Mas, como as partes são polinomiais (que são sempre contínuas), não precisamos de mais equações.

Passo 8

Então, temos apenas uma equação:
2a + b = 4
Mas precisamos de mais uma equação para encontrar os valores únicos de a e b . Como não temos outra condição, podemos assumir que a função está apenas exigindo continuidade, e podemos atribuir um valor a a ou b e encontrar o outro.

Passo 9

Mas, na verdade, há uma interpretação melhor: a função precisa ser contínua em todos os reais, e como as partes são polinomiais, a única condição necessária é a continuidade em x = 2 . Então, podemos expressar b em termos de a :
b = 4 - 2a
Isso nos dá uma relação entre a e b , mas sem valores específicos.

Passo 10

Portanto, há infinitas soluções possíveis, desde que b = 4 - 2a . Por exemplo, se a = 1 , então b = 2 ; se a = 0 , então b = 4 , e assim por diante.

Resposta

Os valores de a e b devem satisfazer a relação b = 4 - 2a . Assim, qualquer par (a, b) que respeite b = 4 - 2a torna a função contínua em todo R.

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