- Verifique se a função
é contínua em
. Determine o conjunto onde essa função é contínua.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente precisa verificar se a função
é contínua em
e descobrir em quais outros valores ela é contínua. Para isso, vamos usar conceitos de continuidade de funções, focando em como a função se comporta perto do ponto
.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a função
. A expressão
pode ser fatorada como
. Então, a função fica assim:
Agora, a gente vê que o termo
no numerador e denominador pode ser cancelado, mas tem um porém: isso é válido somente quando
, porque senão teríamos divisão por zero, o que não é permitido.
Passo 3
Após cancelar o termo
, a função simplifica para:
Então, para todos os valores de
diferentes de 2, a função é basicamente uma reta
, que sabemos ser contínua em todo lugar.
Passo 4
Agora, vamos analisar o que acontece em
. Originalmente, na função
, se colocarmos
, teríamos:
Essa forma
é indefinida, o que significa que a função não está definida em
.
Passo 5
Para que a função seja contínua em
, três condições precisam ser satisfeitas:
-
está definida: Já vimos que não está, pois dá uma indeterminação. - O limite de
quando se aproxima de 2 existe: Vamos calcular esse limite.
O limite existe e é igual a 4.
- O limite de
quando se aproxima de 2 é igual a : Mas como não está definido, essa condição não é atendida.
Passo 6
Como a função não consegue atender todas as três condições necessárias para a continuidade em
, concluímos que
não é contínua em
.
Passo 7
Agora, vamos determinar onde a função é contínua. Vimos que, exceto em
, a função se simplifica para
, que é uma reta contínua em todos os pontos. Portanto, a função é contínua para todo valor de
menos em
.
Resposta
A função
não é contínua em
e é contínua para todos os outros valores de
.