1. Verifique se a função f(x)=x^2-4x-2 é contínua em x=2. Determine o conjunto onde essa função é contínua.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente precisa verificar se a função f(x) = x^2 - 4x - 2 é contínua em x = 2 e descobrir em quais outros valores ela é contínua. Para isso, vamos usar conceitos de continuidade de funções, focando em como a função se comporta perto do ponto x = 2 .

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função f(x) . A expressão x^2 - 4 pode ser fatorada como (x - 2)(x + 2) . Então, a função fica assim:
f(x) = (x - 2)(x + 2)x - 2
Agora, a gente vê que o termo (x - 2) no numerador e denominador pode ser cancelado, mas tem um porém: isso é válido somente quando x neq 2 , porque senão teríamos divisão por zero, o que não é permitido.

Passo 3

Após cancelar o termo (x - 2) , a função simplifica para:
f(x) = x + 2 para x neq 2
Então, para todos os valores de x diferentes de 2, a função é basicamente uma reta f(x) = x + 2 , que sabemos ser contínua em todo lugar.

Passo 4

Agora, vamos analisar o que acontece em x = 2 . Originalmente, na função f(x) = x^2 - 4x - 2 , se colocarmos x = 2 , teríamos:
f(2) = 2^2 - 42 - 2 = 00
Essa forma 00 é indefinida, o que significa que a função não está definida em x = 2 .

Passo 5

Para que a função seja contínua em x = 2 , três condições precisam ser satisfeitas:
  1. f(2) está definida: Já vimos que não está, pois dá uma indeterminação.
  2. O limite de f(x) quando x se aproxima de 2 existe: Vamos calcular esse limite.
limx to 2 f(x) = limx to 2 (x + 2) = 4
O limite existe e é igual a 4.
  1. O limite de f(x) quando x se aproxima de 2 é igual a f(2) : Mas como f(2) não está definido, essa condição não é atendida.

Passo 6

Como a função não consegue atender todas as três condições necessárias para a continuidade em x = 2 , concluímos que f(x) não é contínua em x = 2 .

Passo 7

Agora, vamos determinar onde a função é contínua. Vimos que, exceto em x = 2 , a função se simplifica para f(x) = x + 2 , que é uma reta contínua em todos os pontos. Portanto, a função é contínua para todo valor de x menos em x = 2 .

Resposta

A função f(x) = x^2 - 4x - 2 não é contínua em x = 2 e é contínua para todos os outros valores de x .

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