1. A função f(x)=xsin x é contínua em x=0 ? Determine o conjunto onde essa função é contínua.

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)=xsin x
e pergunta se ela é contínua em x=0 e em quais pontos do eixo real ela é contínua. Vamos usar os conceitos de domínio, definição de continuidade em um ponto, limite e a propriedade de quociente de funções contínuas.

Passo 2

Para achar o domínio de f precisamos de sin xneq0. Como sin x=0 se e somente se x=kpi com kinZ, segue que
Dom(f)=Rsetminus,kpimid kinZ
Em particular, 0 não pertence ao domínio de f, logo f(0) não está definida.

Passo 3

Para que f fosse contínua em x=0 seria preciso que f(0) existisse e que
limxto0f(x)=f(0)
Como f(0) não existe, concluímos imediatamente que f não é contínua em 0, mesmo que o limite exista.

Passo 4

Vamos, no entanto, calcular o limite fundamental
limxto0xsin x
Usando a regra de L\’Hôpital ou o limite sin xsim x para xto0, temos
limxto0xsin x =limxto01cos x =11 =1

Passo 5

Para qualquer x em que sin xneq0, as funções x e sin x são contínuas e sin x não se anula, de modo que o quociente
tfracxsin x
é contínuo. Portanto, f é contínua em todo ponto de
Rsetminus,kpimid kinZ

Resposta

Não. A função f não é contínua em x=0 pois não está definida ali.
O conjunto onde f é contínua é
Rsetminus,kpimid kinZ

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