- A função
é contínua em
? Determine o conjunto onde essa função é contínua.
Passo 1
O enunciado define a função
e pergunta se ela é contínua em
e em quais pontos do eixo real ela é contínua. Vamos usar os conceitos de domínio, definição de continuidade em um ponto, limite e a propriedade de quociente de funções contínuas.
Passo 2
Para achar o domínio de
precisamos de
. Como
se e somente se
com
, segue que
Em particular,
não pertence ao domínio de
, logo
não está definida.
Passo 3
Para que
fosse contínua em
seria preciso que
existisse e que
Como
não existe, concluímos imediatamente que
não é contínua em
, mesmo que o limite exista.
Passo 4
Vamos, no entanto, calcular o limite fundamental
Usando a regra de L\’Hôpital ou o limite
para
, temos
Passo 5
Para qualquer
em que
, as funções
e
são contínuas e
não se anula, de modo que o quociente
é contínuo. Portanto, é contínua em todo ponto de
é contínuo. Portanto,
Resposta
Não. A função
não é contínua em
pois não está definida ali.
O conjunto onde é contínua é
O conjunto onde