Encontre os valores de m para que y=x^{m} seja uma solução para a equação diferencial dada:
x^{2} y^{\prime \prime}+5 x y^{\prime}+4 y=0

Passo 1

O enunciado pede os valores de m tais que
x^{2}y'' + 5x\,y' + 4y = 0
admita uma solução do tipo y = x^{m}. Isso é uma equação de Euler–Cauchy, em que a gente supõe y=x^m e busca a chamada equação característica em m.

Passo 2

Para y = x^{m} temos
y' = m\,x^{m-1},
y'' = m(m-1)\,x^{m-2}.

Passo 3

Substituindo em
x^{2}y'' + 5x\,y' + 4y = 0
vem
x^{2}\bigl[m(m-1)x^{m-2}\bigr] + 5x\bigl[m\,x^{m-1}\bigr] + 4\,x^{m} = 0,
ou seja
\bigl[m(m-1) + 5m + 4\bigr]\,x^{m} = 0.

Passo 4

A parte entre colchetes é a equação característica em m:
m(m-1) + 5m + 4 = m^{2} +4m +4 = 0.
Fatorando,
(m+2)^{2} = 0
dá raiz dupla
m = -2.

Resposta

m = -2

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