Questão 1 Nos itens a seguir resolva a equação dada por separação de variável.
\left\{\begin{array}{l}y d y=4 x\left(y^{2}+1\right)^{1 / 2} d x \\\ y(0)=1\end{array} \quad\right.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial por separação de variáveis
y\,dy = 4x\sqrt{y^2+1}\,dx
com condição inicial y(0)=1. O conteúdo aqui é “equações diferenciais separáveis”: vamos isolar os termos em y de um lado e em x do outro antes de integrar.

Passo 2

Separe as variáveis agrupando y com dy e x com dx:
y\,dy = 4x\sqrt{y^2+1}\,dx \quad\Longrightarrow\quad \frac{y}{\sqrt{y^2+1}}\,dy = 4x\,dx.

Passo 3

Integre ambos os lados:
\int \frac{y}{\sqrt{y^2+1}}\,dy = \int 4x\,dx.
No lado esquerdo, faça u=y^2+1, logo du=2y\,dy, daí
\int \frac{y}{\sqrt{y^2+1}}\,dy = \int \frac{1}{2}\,u^{-1/2}\,du = \sqrt{u} = \sqrt{y^2+1}.
No lado direito,
\int 4x\,dx = 2x^2 + C.
Assim obtemos
\sqrt{y^2+1} = 2x^2 + C.

Passo 4

Use a condição inicial y(0)=1:
\sqrt{1^2+1} = \sqrt{2} = 2\cdot0^2 + C \quad\Longrightarrow\quad C = \sqrt{2}.
Logo
\sqrt{y^2+1} = 2x^2 + \sqrt{2}.

Passo 5

Eleve ao quadrado e isole y:
y^2 + 1 = \bigl(2x^2 + \sqrt{2}\bigr)^2 \quad\Longrightarrow\quad y^2 = \bigl(2x^2 + \sqrt{2}\bigr)^2 - 1.
Como y(0)=1>0, escolhemos o ramo positivo:
y = \sqrt{\bigl(2x^2 + \sqrt{2}\bigr)^2 - 1}.

Resposta

y(x) = \sqrt{\bigl(2x^2 + \sqrt{2}\bigr)^2 - 1}.

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