Questão 1 Nos itens a seguir resolva a equação dada por separação de variável.
\left\{\begin{array}{l}x^{2} y^{\prime}=y-x y \\\ y(-1)=-1\end{array} \quad\right.

Passo 1

O enunciado apresenta o problema de valor inicial
x^{2}\,y' = y - x\,y, \quad y(-1)=-1
e pede para resolver por separação de variáveis. O conteúdo usado será a técnica de separar y e x em lados opostos da igualdade e depois integrar.

Passo 2

Primeiro, reescrevemos a equação de modo a expressar y' isoladamente:
y' = \frac{y - x\,y}{x^{2}} = y\,\frac{1 - x}{x^{2}}.
Agora podemos separar variáveis, colocando todos os termos em y de um lado e em x do outro:
\frac{1}{y}\,dy = \frac{1 - x}{x^{2}}\,dx.

Passo 3

Integramos ambos os lados:
\int \frac{1}{y}\,dy = \int \Bigl(\frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{x}\Bigr)\,dx.
No lado esquerdo vem
\int \frac{1}{y}\,dy = \ln\bigl|y\bigr| + C_{1},
e no direito
\int \frac{1}{x^{2}}\,dx = -\frac{1}{x}, \quad \int \frac{1}{x}\,dx = \ln\bigl|x\bigr|,
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\ln\bigl|y\bigr| = -\frac{1}{x} - \ln\bigl|x\bigr| + C.

Passo 4

Reunindo os logaritmos,
\ln\bigl|y\bigr| + \ln\bigl|x\bigr| = -\frac{1}{x} + C \quad\Longrightarrow\quad \ln\bigl|x\,y\bigr| = -\frac{1}{x} + C.
Exponenciando, obtemos a solução geral
x\,y = K\,e^{-1/x},
ou seja
y = \frac{K}{x}\,e^{-1/x},
onde K=e^{C} é a constante de integração.

Passo 5

Para ajustar ao valor inicial y(-1)=-1, substituímos x=-1 e y=-1:
-1 = \frac{K}{-1}\,e^{-1/(-1)} = -K\,e^{1},
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-K\,e = -1 \quad\Longrightarrow\quad K = \frac{1}{e}.

Resposta

\boxed{y(x) = \frac{1}{e\,x}\,e^{-1/x} = \frac{1}{x}\,e^{-\bigl(1 + \frac{1}{x}\bigr)}.}

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