Encontre os valores de Z_{c}, sendo Z \sim N(0,1), tais que:
P\left(Z<Z_{c}\right)=0,975;

Passo 1

O enunciado dá que Z é uma variável aleatória com distribuição normal padrão, isto é Z\sim N(0,1), e pede o valor de Z_{c} tal que
P\bigl(Z < Z_{c}\bigr)=0,975.
Informações relevantes fornecidas:
\text{média} = 0,\qquad \text{desvio-padrão} = 1,\qquad \text{CDF: } \Phi(z)=P(Z<z).éã

Passo 2

Entender o que significa encontrar Z_{c}: estamos procurando o percentil de ordem 97{,}5\% da normal padrão, ou seja o número Z_{c} tal que a área à esquerda (probabilidade acumulada) até Z_{c} é 0{,}975. Em notação:
Z_{c}=\Phi^{-1}\bigl(0,975\bigr),
onde \Phi é a função de distribuição acumulada da normal padrão.

Passo 3

Uma observação útil sobre simetria: a normal padrão é simétrica em torno de 0. Isso dá a identidade
\Phi(-z)=1-\Phi(z).
Usaremos isso porque 0{,}975 é maior que 0{,}5, logo Z_{c} será positivo (a mediana é 0). Também podemos reescrever a exigência como
\Phi(Z_{c})=0,975 \quad\Longrightarrow\quad \Phi(-Z_{c})=1-0,975=0,025.

Passo 4

Interpretando o que obtivemos: \Phi(-Z_{c})=0,025 significa que -Z_{c} é o percentil de ordem 2{,}5\%. Em tabelas da normal padrão normalmente achamos valores para \Phi(z); olhando a tabela para a probabilidade 0{,}025 encontramos (ou sabemos por memorização de estatística) que o quantil de 0{,}025 é aproximadamente -1{,}96. Ou seja,
- Z_{c}\approx -1{,}96.

Passo 5

Da igualdade -Z_{c}\approx -1{,}96 obtemos
Z_{c}\approx 1{,}96.

Passo 6

Verificação rápida (intuitiva): se Z_{c}=1{,}96 então a área à direita de 1{,}96 é P(Z>1{,}96)=0,025 (pela simetria e pela tabela), portanto a área à esquerda é 1-0,025=0,975, que é exatamente a condição pedida. Assim o valor está coerente.

Resposta

Z_{c}=1{,}96

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