Encontre os valores de a e b tais que tenhamos a reta ( y=a x+b ) que mais se aproxime aos pontos (x, y) abaixo:
x y
0 2
1 1
3 4
7 10
Dica: Encontre um sistema de equações utilizando cada par de pontos e resolva o sistema utilizando o método dos mínimos quadrados.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente precisa encontrar os valores de e na equação da reta que melhor se ajusta aos pontos dados: , , e . Para isso, vamos usar o método dos Mínimos Quadrados, que é uma técnica de Regressão Linear. Ele ajuda a encontrar a reta que minimiza a diferença entre os valores reais e os valores previstos pela reta.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que precisamos calcular. No método dos Mínimos Quadrados, buscamos minimizar a soma dos quadrados dos erros, ou seja, a soma de para todos os pontos. Para isso, vamos precisar calcular algumas somas: , , e .

Passo 3

Vamos organizar os dados:
sum x = 0 + 1 + 3 + 7 = 11 sum y = 2 + 1 + 4 + 10 = 17 sum x^2 = 0 + 1 + 9 + 49 = 59 sum xy = 0 + 1 + 12 + 70 = 83
0 2 0 0
1 1 1 1
3 4 9 12
7 10 49 70
Agora, vamos calcular as somas:

Passo 4

O próximo passo é usar as fórmulas do método dos Mínimos Quadrados para encontrar a = N sum xy - (sum x)(sum y)N sum x^2 - (sum x)^2 e b = sum y - a sum xN . As fórmulas são:
Onde é o número de pontos, que no nosso caso é 4.

Passo 5

Vamos calcular a = 4 times 83 - 11 times 174 times 59 - 11^2 = 332 - 187236 - 121 = 145115 = 2923 approx 1,26 primeiro:

Passo 6

Agora, vamos calcular b = 17 - 1,26 times 114 = 17 - 13,864 = 3,144 approx 0,785 :

Resposta

Os valores que melhor aproximam a reta aos pontos dados são aproximadamente y = 1,26,x + 0,785 e . Portanto, a equação da reta é:

Exercícios relacionados