Prove que para vetores não nulos v e w tem-se |v times w|=lang<= v, w> se, e somente se, o ângulo entre v e w é pi4.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que, para vetores não nulos e , a norma do produto vetorial é igual ao produto interno se e somente se o ângulo entre eles é radianos. Para resolver isso, vamos usar conceitos de produto vetorial, produto interno e trigonometria dos vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que cada um desses produtos significa. O produto vetorial de dois vetores |v times w| = |v| cdot |w| cdot sin(theta) e lang<= v, w rang<= = |v| cdot |w| cdot cos(theta) tem uma norma dada por:
onde é o ângulo entre os vetores.
Já o produto interno é dado por:
Essas duas expressões nos dão uma relação direta entre a norma dos produtos e o ângulo .

Passo 3

Queremos provar que |v| cdot |w| cdot sin(theta) = |v| cdot |w| cdot cos(theta) . Vamos igualar as duas expressões que temos:
sin(theta) = cos(theta)
Como e são vetores não nulos, e são diferentes de zero e podem ser cancelados dos dois lados da equação. Assim, ficamos com:

Passo 4

Agora, precisamos encontrar para qual ângulo tan(theta) = 1 a igualdade é verdadeira. Dividindo ambos os lados por , temos:
Isso acontece quando radianos (ou 45 graus), já que .

Passo 5

Então, mostramos que se , então . Agora, para a parte “se e somente se”, precisamos garantir que se , então necessariamente . Isso já foi demonstrado na etapa anterior.

Resposta

Portanto, para vetores não nulos e , a igualdade ocorre se e somente se o ângulo entre eles for radianos.

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