Prove que para vetores não nulos
e
tem-se
se, e somente se, o ângulo entre
e
é
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que, para vetores não nulos
e
, a norma do produto vetorial
é igual ao produto interno
se e somente se o ângulo entre eles é
radianos. Para resolver isso, vamos usar conceitos de produto vetorial, produto interno e trigonometria dos vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que cada um desses produtos significa. O produto vetorial de dois vetores
e
tem uma norma dada por:
onde
é o ângulo entre os vetores.
Já o produto interno é dado por:
Essas duas expressões nos dão uma relação direta entre a norma dos produtos e o ângulo
.
Passo 3
Queremos provar que
. Vamos igualar as duas expressões que temos:
Como
e
são vetores não nulos,
e
são diferentes de zero e podem ser cancelados dos dois lados da equação. Assim, ficamos com:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar para qual ângulo
a igualdade
é verdadeira. Dividindo ambos os lados por
, temos:
Isso acontece quando
radianos (ou 45 graus), já que
.
Passo 5
Então, mostramos que se
, então
. Agora, para a parte “se e somente se”, precisamos garantir que se
, então necessariamente
. Isso já foi demonstrado na etapa anterior.
Resposta
Portanto, para vetores não nulos
e
, a igualdade
ocorre se e somente se o ângulo entre eles for
radianos.