Resolva a equação A times x=b, para x, a partir dos dados abaixo, através do método dos mínimos quadrados. Determine o valor do erro.
A=[rr 2 & 4 1 & 1 1 & -3 ] ; b=[r -5 0 -5 ]

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação matricial e precisamos encontrar o vetor que melhor resolve essa equação usando o método dos mínimos quadrados. Esse método é útil quando o sistema de equações não tem uma solução exata. Para resolver isso, vamos precisar usar matrizes e um pouco de álgebra linear.

Passo 2

O método dos mínimos quadrados procura minimizar o erro entre o lado esquerdo e o lado direito da equação. Matematicamente, isso significa que queremos minimizar a norma do vetor A^T A x = A^T b . A forma mais comum de fazer isso é resolvendo a equação normal:
Aqui, representa a transposta da matriz .

Passo 3

Vamos calcular A = 2 & 4 1 & 1 1 & -3 , a transposta de A^T = 2 & 1 & 1 4 & 1 & -3 . Dada a matriz:
A transposta é:

Passo 4

Agora, vamos multiplicar A^T A = 2 & 1 & 1 4 & 1 & -3 2 & 4 1 & 1 1 & -3 por A^T A = 2*2 + 1*1 + 1*1 & 2*4 + 1*1 + 1*(-3) 4*2 + 1*1 + (-3)*1 & 4*4 + 1*1 + (-3)*(-3) = 6 & 6 6 & 26 :
Fazendo a multiplicação:

Passo 5

Em seguida, calculamos b = -5 0 -5 :
A^T b = 2 & 1 & 1 4 & 1 & -3 -5 0 -5 = 2*(-5) + 1*0 + 1*(-5) 4*(-5) + 1*0 + (-3)*(-5) = -15 -20 + 15 = -15 -5
Então,

Passo 6

Agora temos o sistema de equações:
6 & 6 6 & 26 x = -15 -5
Vamos resolver esse sistema para encontrar x1 + x2 = -2.5 (1) . Usando métodos de resolução de sistemas, como a eliminação de Gauss:
Primeiro, podemos dividir a primeira equação por 6:
6x1 + 26x2 = -5 (2)
E a segunda equação:
6x1 + 6x2 = -15 (3)
Multiplicando a equação (1) por 6:
(6x1 + 26x2) - (6x1 + 6x2) = -5 - (-15)
Subtraindo a equação (3) da equação (2):
20x2 = 10 implies x2 = 1020 = 0.5
Simplificando:
x1 + 0.5 = -2.5 implies x1 = -3
Substituindo na equação (1):

Passo 7

Agora que encontramos -3 0.5 , vamos calcular o erro. O erro é dado pela diferença entre e = Ax - b e Ax = 2*(-3) + 4*0.5 1*(-3) + 1*0.5 1*(-3) + (-3)*0.5 = -6 + 2 -3 + 0.5 -3 -1.5 = -4 -2.5 -4.5 :
e = -4 -2.5 -4.5 - -5 0 -5 = 1 -2.5 0.5
Calculando :
Então,

Resposta

A solução que minimiza o erro é -3 0.5 e o valor do erro é 1 -2.5 0.5 .

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