Nos problemas 1-16, a função indicada y1(x) é uma solução da equação diferencial dada. Use redução de ordem ou a fórmula (5), conforme foi ensinado, para encontrar uma segunda solução y2(x).
y^prime prime-y=0 ; y1=cosh x

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos a equação diferencial
y'' - y = 0
e já conhecemos uma solução y1(x)=cosh x. O objetivo é encontrar uma segunda solução y2(x) linearmente independente de y1, usando redução de ordem ou a fórmula apropriada.

Passo 2

Primeiro, colocamos a equação na forma padrão
y'' + P(x),y' + Q(x),y = 0
Aqui P(x)=0 e Q(x)=-1.

Passo 3

Pela fórmula de redução de ordem, uma segunda solução pode ser escrita como
y2(x)=y1(x)integral e^-integral P(x),dxy1(x)^2,dx
Como P(x)=0, temos e^-integral P,dx=1. Assim
y2(x)=cosh xintegral 1cosh^2x,dx

Passo 4

Calculamos a integral
Desprezando a constante e multiplicando por , obtemos

Passo 5

Para verificar a independência linear, basta checar o Wronskiano:
W(y1,y2) = cosh x & sinh x sinh x & cosh x = cosh^2x - sinh^2x = 1 neq 0,
logo cosh x e sinh x são independentes.

Resposta

y2(x)=sinh x

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