Estude a convergência da série
sumn=1^infty (-1)^n1+n^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que estudar se a série sumn=1^infty (-1)^n1 + n^2 converge ou não. Isso está relacionado ao conteúdo de séries numéricas, especificamente séries alternadas. Para resolver isso, vamos usar alguns testes de convergência e entender um pouco sobre eles.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que essa série é uma série alternada porque o termo (-1)^n faz os sinais dos termos mudarem de positivo para negativo e vice-versa conforme n aumenta. Séries alternadas têm uma característica especial que nos ajuda a testar a convergência delas.

Passo 3

Vamos aplicar o Teste da Série Alternada. Esse teste diz que uma série alternada sum (-1)^n an converge se duas condições forem satisfeitas:
  1. Os termos an são decrescentes, ou seja, an+1 <= an para todo n .
  2. O limite de an quando n tende ao infinito é zero, isto é, limn to infty an = 0 .
No nosso caso, an = 11 + n^2 .

Passo 4

Vamos verificar a primeira condição: os termos an = 11 + n^2 são decrescentes?
Sim! Conforme n aumenta, n^2 aumenta, então 1 + n^2 aumenta, e portanto an diminui.

Passo 5

Agora, vamos para a segunda condição: o limite de an quando n tende ao infinito.
limn to infty 11 + n^2 = 0
Então, essa condição também é satisfeita.

Passo 6

Como ambas as condições do Teste da Série Alternada são atendidas, podemos concluir que a série sumn=1^infty (-1)^n1 + n^2 converge.

Passo 7

Além disso, vamos verificar se a série converge de forma absoluta. Para isso, analisamos a série dos valores absolutos:
sumn=1^infty | (-1)^n1 + n^2 | = sumn=1^infty 11 + n^2
Essa é uma série p com p = 2 , e sabemos que uma série p converge se p > 1 . Então, essa série também converge.

Resposta

A série sumn=1^infty (-1)^n1 + n^2 converge absolutamente.

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