Beleza, vamos lá! A gente tem que estudar se a série converge ou não. Isso está relacionado ao conteúdo de séries numéricas, especificamente séries alternadas. Para resolver isso, vamos usar alguns testes de convergência e entender um pouco sobre eles.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar que essa série é uma série alternada porque o termo faz os sinais dos termos mudarem de positivo para negativo e vice-versa conforme aumenta. Séries alternadas têm uma característica especial que nos ajuda a testar a convergência delas.
Passo 3
Vamos aplicar o Teste da Série Alternada. Esse teste diz que uma série alternada converge se duas condições forem satisfeitas:
Os termos são decrescentes, ou seja, para todo .
O limite de quando tende ao infinito é zero, isto é, .
No nosso caso, .
Passo 4
Vamos verificar a primeira condição: os termos são decrescentes?
Sim! Conforme aumenta, aumenta, então aumenta, e portanto diminui.
Passo 5
Agora, vamos para a segunda condição: o limite de quando tende ao infinito.
Então, essa condição também é satisfeita.
Passo 6
Como ambas as condições do Teste da Série Alternada são atendidas, podemos concluir que a série converge.
Passo 7
Além disso, vamos verificar se a série converge de forma absoluta. Para isso, analisamos a série dos valores absolutos:
Essa é uma série p com p = 2 , e sabemos que uma série p converge se p > 1 . Então, essa série também converge.
Resposta
A série sumn=1^infty (-1)^n1 + n^2 converge absolutamente.