Encontre os valores x que satisfaz cada uma das seguintes desigualdades:
(f) |4-x^2| <= x+72

Passo 1

O enunciado pede para resolver a desigualdade
|4 - x^2| <= x+72
O conteúdo envolvido é desigualdade com valor absoluto. Vamos precisar (1) impor o domínio em que o lado direito é não negativo, e (2) separar em dois casos conforme o sinal de 4 - x^2.

Passo 2

Para que |4 - x^2|<= (x+7)/2 faça sentido, precisamos ter
x+72>= 0
senão um número não negativo não pode ser menor ou igual a um número negativo. Logo
x+7>= 0Longrightarrow x>= -7
Em x<-7 não há solução.

Passo 3

Caso 1: 4 - x^2 >= 0, ou seja x^2<= 4 e assim xin[-2,2]. Nesse caso
l|4 - x^2r| = 4 - x^2
e a desigualdade vira
4 - x^2 <= x+72
Multiplicando por 2:
8 - 2x^2 <= x + 7 Longrightarrow -2x^2 - x +1 <= 0 Longrightarrow 2x^2 + x -1 >= 0
A equação 2x^2 + x -1=0 tem raízes
x = -1pmraiz1+84 = -1pm34,
isto é x=-1 e x=tfrac12. Como o coeficiente de x^2 é positivo, 2x^2+x-1>=0 para x<= -1 ou x>= tfrac12. Intersectando com [-2,2] obtemos
xin[-2,-1];cup;l[tfrac12,2r]

Passo 4

Caso 2: 4 - x^2 < 0, ou seja x^2>4. Além disso já impusemos x>= -7, logo xin[-7,-2)cup(2,infty). Aqui
l|4 - x^2r| = x^2 - 4
e a desigualdade fica
x^2 - 4 <= x+72
Multiplicando por 2:
2x^2 - 8 <= x + 7 Longrightarrow 2x^2 - x -15 <= 0
A equação 2x^2 - x -15=0 tem raízes
x = 1pmraiz1+1204 = 1pm114,
isto é x=-tfrac52 e x=3. Como o coeficiente de x^2 é positivo, 2x^2 - x -15 <=0 para -tfrac52 <= x <= 3. Intersectando com [-7,-2)cup(2,infty) obtemos
xinl[-tfrac52,-2r);cup;(2,3]

Passo 5

Agora unimos as soluções dos dois casos:
[-2,-1]cupl[-tfrac52,-2r) =[-tfrac52,-1],
l[tfrac12,2r]cup(2,3]=l[tfrac12,3r]
Portanto a solução final é
xinl[-tfrac52,-1r];cup;l[tfrac12,3r]

Resposta

boxedxin[-52,-1]cup[12,3]

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