Encontre os valores x que satisfaz cada uma das seguintes desigualdades:
(g) x-1x-2>2

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação racional
x-1x-2 > 2
O conteúdo aqui é manipular inequações que envolvem frações: vamos achar o domínio, passar tudo para um único quociente e estudar o sinal desse quociente.

Passo 2

Precisamos garantir que o denominador não seja zero. Como o denominador é x-2, o domínio é
x neq 2

Passo 3

Subtraímos 2 de ambos os lados para obter um único quociente:
x-1x-2 - 2 > 0
Fazendo o mesmo denominador,
x-1 - 2(x-2)x-2 = x-1 -2x +4x-2 = -x +3x-2
Logo a inequação fica
-x+3x-2 > 0

Passo 4

Os pontos críticos são onde o numerador ou o denominador se anulam:
bul<=t Numerador -x+3 = 0 em x=3.
bul<=t Denominador x-2 = 0 em x=2.
Isso separa a reta em três intervalos: (-infty,2), (2,3) e (3,infty). Vamos testar o sinal em cada um:
Em (-infty,2), seja x=0:
numerador = -0+3 = 3 > 0, denominador = 0-2 = -2 < 0
logo o quociente é negativo.
Em (2,3), seja x=2,5:
numerador = -2,5+3 = 0,5 > 0, denominador = 2,5-2 = 0,5 > 0
logo o quociente é positivo.
Em (3,infty), seja x=4:
numerador = -4+3 = -1 < 0, denominador = 4-2 = 2 > 0
logo o quociente é negativo.

Passo 5

Queremos tfrac-x+3x-2>0, ou seja, sinal positivo. Isso ocorre apenas em
2 < x < 3
Relembrando, não incluímos x=2 (denominador zero) nem x=3 (quociente zero, mas queremos estritamente maior que zero).

Resposta

A solução da inequação é
2 < x < 3

Exercícios relacionados