Esboce o gráfico da função:
f(x)=1x-4-3

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o gráfico da função racional
f(x)=1x-4-3
O conteúdo é transformações de gráfico de y=1x; vamos usar translação horizontal e vertical, além de identificar assíntotas.

Passo 2

Observe que
f(x)=1x-4-3
é obtida a partir de
g(u)=1u
fazendo a substituição u=x-4 (translade 4 unidades para a direita) e depois subtraindo 3 (translade 3 unidades para baixo).

Passo 3

Das transformações seguem as assíntotas:
  • vertical em
x-4=0Longrightarrow x=4,
porque o denominador se anula,
  • horizontal em
y=-3,
pois para xtopminfty temos tfrac1x-4to0 e então f(x)to-3.

Passo 4

Para guiar o esboço, calcule alguns pontos:
  • em x=5:
f(5)=15-4-3=1-3=-2;
  • em x=3:
f(3)=13-4-3=-1-3=-4;
  • em x=6:
f(6)=16-4-3=tfrac12-3=-tfrac52;
  • em x=2:
f(2)=12-4-3=-tfrac12-3=-tfrac72

Passo 5

Agora esboce dois ramos de hipérbole:
  • Para x>4, 1x-4>0 implica f(x)>-3. O ramo parte de yto+infty quando xto4^+, passa por (5,-2) e se aproxima de y=-3 conforme xto+infty.
  • Para x<4, 1x-4<0 implica f(x)<-3. O ramo parte de yto-infty quando xto4^-, passa por (3,-4) e se aproxima de y=-3 conforme xto-infty.

Resposta

O gráfico de f(x)=1x-4-3 é uma hipérbole com:
– assíntota vertical x=4,
– assíntota horizontal y=-3,
– ramo direito ( x>4) acima de y=-3, passando por (5,-2),
– ramo esquerdo ( x<4) abaixo de y=-3, passando por (3,-4).

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