Encontre os valores x que satisfaz cada uma das seguintes desigualdades:
(h) x^2+x+1x-2>3

Passo 1

O enunciado pede para resolver a desigualdade fracionária
x^2+x+1x-2 > 3,
que envolve uma expressão racional. Vamos precisar primeiro colocar tudo em um único lado e estudar o sinal do numerador e do denominador.

Passo 2

Subtraímos 3 de ambos os lados para ter zero no lado direito:
x^2+x+1x-2 - 3 > 0
Em seguida, escrevemos com denominador comum:
x^2+x+1 - 3(x-2)x-2 > 0

Passo 3

Calculamos o numerador:
x^2 + x + 1 - 3(x-2) = x^2 + x + 1 - 3x + 6 = x^2 - 2x + 7
A desigualdade fica
x^2 - 2x + 7x-2 > 0

Passo 4

Analisamos o numerador ,x^2 - 2x + 7. O discriminante é
De<a = (-2)^2 - 4cdot1cdot7 = 4 - 28 = -24 < 0,
e como o coeficiente de x^2 é positivo, concluímos que
x^2 - 2x + 7 > 0para todo xinR

Passo 5

O sinal da fração depende então só do denominador x-2. Para que a fração seja positiva, precisamos de
x - 2 > 0 Longrightarrow x > 2
Lembrando que x=2 não pertence ao domínio da expressão original.

Resposta

x > 2

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