Encontre os valores de x para os quais a série converge. Calcule a soma da série para esses valores de x.
sumn=1^infty(-5)^n x^n

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os valores de x que fazem a série
sumn=1^infty(-5)^nx^n
convergir e, nesses casos, calcular sua soma. O conteúdo principal aqui é reconhecer e usar a fórmula da série geométrica.

Passo 2

Note que o termo geral pode ser reescrito como
an = (-5)^nx^n = (-5x)^n,
Ou seja, temos uma série geométrica de razão
r = -5x
e primeiro termo r^1.

Passo 3

A condição de convergência de uma série geométrica sumn=1^inftyr^n é
|r|<1
Aqui isso vira
|-5x|<1 Longrightarrow |x|<tfrac15

Passo 4

Para |r|<1, a soma da série geométrica é
sumn=1^inftyr^n = r1-r
Substituindo r = -5x, obtemos
sumn=1^infty(-5)^nx^n = sumn=1^infty(-5x)^n = -5x1 - (-5x) = -5x1 + 5x

Resposta

|x|<tfrac15
sumn=1^infty(-5)^nx^n = -5x1+5x

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