Exercício 5. Resolva as EDO’s abaixo por séries de potências em torno de x=0.
y^prime prime+cos (x) y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver por séries de potências em torno de x=0 a equação
y''+cos(x),y=0
O conteúdo é solução de EDOs por séries de potências. Vamos supor uma série para y e usar a expansão em série de Taylor de cos(x).

Passo 2

Suponha
y(x)=sumn=0^inftyan x^n,
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y''(x)=sumn=0^infty(n+2)(n+1),an+2,x^n
Também sabemos
cos(x)=sumk=0^infty(-1)^kx^2k(2k)!

Passo 3

Substituindo em y''+cos(x),y=0 obtemos
sumn=0^infty(n+2)(n+1)an+2x^n +l(sumk=0^infty(-1)^kx^2k(2k)!r) l(summ=0^inftyam x^mr) =0
Ao coletar a mesma potência x^n surge a condição de cancelamento dos coeficientes.

Passo 4

Para cada n>=0 a equação dos coeficientes é
(n+2)(n+1)an+2 +sumk=0^lfloor n/2rfloor(-1)^ka,n-2k(2k)! =0,
ou seja
an+2 =-1(n+2)(n+1) sumk=0^lfloor n/2rfloor(-1)^ka,n-2k(2k)!

Passo 5

Escolhendo duas condições iniciais independentes a0 e a1, calculamos alguns coeficientes:
  • Para n=0: (2cdot1)a2 +a0=0 Rightarrow a2=-tfraca02.
  • Para n=1: (3cdot2)a3 +a1=0 Rightarrow a3=-tfraca16.
  • Para n=2: (4cdot3)a4 +a2 -tfraca02=0 Rightarrow a4=tfraca012.
  • Para n=3: (5cdot4)a5 +a3 -tfraca12=0 Rightarrow a5=tfraca130.
  • Para n=4: (6cdot5)a6 +a4 +tfraca22 +tfraca024=0 Rightarrow a6=-tfraca080.
Assim surgem duas soluções independentes em série:
y1(x)=a0l(1 - tfracx^22 + tfracx^412 - tfracx^680 +cdotsr),
y2(x)=a1l(x - tfracx^36 + tfracx^530 +cdotsr)

Resposta

y(x) =C1l(1 - tfracx^22 + tfracx^412 - tfracx^680 + cdotsr) + C2l(x - tfracx^36 + tfracx^530 + cdotsr)

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