Exercício 2. Para cada item abaixo, faça o seguinte:
  1. Procure por soluções em série de potências em torno do ponto indicado, e encontre a fórmula de recorrência entre os coeficientes da série.
  2. Utilize o exercício anterior para calcular os quatro primeiros termos de cada uma das duas soluções fundamentais y1, y2.
  3. Se possível, encontre o termo geral de cada solução.
    a) y^prime prime-y=0, x0=0
    b) y^prime prime-x y^prime-y=0, x0=1
    c) y^prime prime+k^2 x^2 y=0, x0=0, sendo k constante
    d) (4-x^2) y^prime prime+2 y=0, x0=0

Passo 1

O enunciado pede solução em série de potências
y=sumn=0^infty an(x-x0)^n
para cada EDO de segunda ordem, com três objetivos:
  1. achar a fórmula de recorrência dos coeficientes an,
  2. calcular os quatro primeiros termos das duas soluções fundamentais y1,y2,
  3. quando der, expor o termo geral de cada solução.

Passo 2

Item (a) y''-y=0,;x0=0.
Suponha
y=sumn=0^infty anx^n, y''=sumn=0^infty(n+2)(n+1)an+2x^n
Na EDO vem
sumn=0^inftyl[(n+2)(n+1)an+2-anr]x^n=0 Longrightarrow an+2=an(n+2)(n+1)
As duas séries independentes saem escolhendo (a0,a1)=(1,0) e (0,1):
y1=1+x^22!+x^44!+x^66!+cdots, y2=x+x^33!+x^55!+x^77!+cdots
O termo geral é
a2m=a0(2m)!, a2m+1=a1(2m+1)!

Passo 3

Item (b) y''-x,y'-y=0,;x0=1.
Use t=x-1,
y=sumn=0^infty ant^n, y'=sum n,ant^n-1, y''=sum n(n-1)ant^n-2
Substituindo e igualando coeficientes de t^n
an+2=an+1+ann+2
Com (a0,a1)=(1,0):
y1=1+tfrac12t^2+tfrac16t^3+tfrac16t^4+cdots
Com (a0,a1)=(0,1):
y2=t+tfrac12t^2+tfrac12t^3+tfrac14t^4+cdots, t=x-1
Não há termo geral simples em forma fechada.

Passo 4

Item (c) y''+k^2x^2y=0,;x0=0.
Escreva
y=sumn=0^infty anx^n, y''=sumn=0^infty(n+2)(n+1)an+2x^n,
e note que x^2y=sum an-2x^n. A EDO dá
(n+2)(n+1)an+2+k^2an-2=0 Longrightarrow an+2=-k^2(n+2)(n+1),an-2
Separando pares e ímpares:
y1=1-k^2x^412+k^4x^8672-k^6x^1260480+cdots,
y2=x-k^2x^520+k^4x^91440-cdots
O termo geral segue o padrão de saltos de índice de 4 em 4.

Passo 5

Item (d) (4-x^2)y''+2y=0,;x0=0.
Comece com
y=sumn=0^infty anx^n, y''=sum(n+2)(n+1)an+2x^n
Expanda (4-x^2)y'' e iguale coeficientes de x^n; obtém-se
a2=-a04, a3=-a112, an+2=n-24(n+2),an(n>=2)
Com (a0,a1)=(1,0) surge o polinômio
y1=1-x^24
Com (a0,a1)=(0,1) vem a série
y2=x-x^312-x^5240-x^72240+cdots

Resposta

(a)
an+2=an(n+2)(n+1), y1=1+x^22!+x^44!+cdots, y2=x+x^33!+x^55!+cdots,
a2m=a0(2m)!, a2m+1=a1(2m+1)!
(b)
an+2=an+1+ann+2, y1=1+tfrac12t^2+tfrac16t^3+tfrac16t^4+cdots, y2=t+tfrac12t^2+tfrac12t^3+tfrac14t^4+cdots,
com t=x-1.
(c)
an+2=-k^2(n+2)(n+1)an-2, y1=1-tfrack^2x^412+tfrack^4x^8672-cdots, y2=x-tfrack^2x^520+tfrack^4x^91440-cdots
(d)
a2=-tfraca04,;a3=-tfraca112,; an+2=tfracn-24(n+2)an,
y1=1-tfracx^24, y2=x-tfracx^312-tfracx^5240-tfracx^72240+cdots

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