Exercício 2. Para cada item abaixo, faça o seguinte:
- Procure por soluções em série de potências em torno do ponto indicado, e encontre a fórmula de recorrência entre os coeficientes da série.
- Utilize o exercício anterior para calcular os quatro primeiros termos de cada uma das duas soluções fundamentais
.
- Se possível, encontre o termo geral de cada solução.
a)
b)
c)
, sendo
constante
d)
a)
b)
c)
d)
Passo 1
O enunciado pede solução em série de potências
para cada EDO de segunda ordem, com três objetivos:
para cada EDO de segunda ordem, com três objetivos:
- achar a fórmula de recorrência dos coeficientes
, - calcular os quatro primeiros termos das duas soluções fundamentais
, - quando der, expor o termo geral de cada solução.
Passo 2
Item (a)
.
Suponha
Suponha
Na EDO vem
As duas séries independentes saem escolhendo
e
:
O termo geral é
Passo 3
Item (b)
.
Use ,
Use
Substituindo e igualando coeficientes de
dá
Com
:
Com
:
Não há termo geral simples em forma fechada.
Passo 4
Item (c)
.
Escreva
Escreva
e note que
. A EDO dá
Separando pares e ímpares:
O termo geral segue o padrão de saltos de índice de 4 em 4.
Passo 5
Item (d)
.
Comece com
Comece com
Expanda
e iguale coeficientes de
; obtém-se
Com
surge o polinômio
Com
vem a série
Resposta
(a)
(b)
com
.
(c)
(d)