Encontre os valores de para os quais a série converge. Calcule a soma da série para esses valores de .
Passo 1
O enunciado pede determinar para quais valores de a série
converge e, para esses valores de , calcular a soma. Reconhecemos que o termo geral é
ou seja, trata-se de uma série geométrica. Vamos usar o critério de convergência de séries geométricas e a fórmula de soma de uma progressão geométrica infinita.
Passo 2
Para uma série geométrica com razão (aqui ), a convergência ocorre se e somente se
Aplicando ao nosso caso, exigimos
|x5| < 1
Passo 3
Da desigualdade l|x/5r|<1 segue
|x| < 5,
isto é, a série converge para
-5 < x < 5
Nos extremos x=5 e x=-5 temos, respectivamente, termos gerais que não tendem a zero (1 ou oscilações pm1), logo não há convergência nesses pontos.
Passo 4
Sabendo que sumn=0^inftyr^n = 1/(1-r) para |r|<1, podemos escrever