Encontre os valores de x para os quais a série converge. Calcule a soma da série para esses valores de x.
sumn=2^infty x^n5^n

Passo 1

O enunciado pede determinar para quais valores de x a série
sumn=2^infty x^n5^n
converge e, para esses valores de x, calcular a soma. Reconhecemos que o termo geral é
x^n5^n ;=;l(x5r)^n,
ou seja, trata-se de uma série geométrica. Vamos usar o critério de convergência de séries geométricas e a fórmula de soma de uma progressão geométrica infinita.

Passo 2

Para uma série geométrica com razão r (aqui r = x/5), a convergência ocorre se e somente se
gl|;rgr| < 1
Aplicando ao nosso caso, exigimos
|x5| < 1

Passo 3

Da desigualdade l|x/5r|<1 segue
|x| < 5,
isto é, a série converge para
-5 < x < 5
Nos extremos x=5 e x=-5 temos, respectivamente, termos gerais que não tendem a zero ( 1 ou oscilações pm1), logo não há convergência nesses pontos.

Passo 4

Sabendo que sumn=0^inftyr^n = 1/(1-r) para |r|<1, podemos escrever
sumn=2^infty l(x5r)^n = sumn=0^infty l(x5r)^n ;-;l(x5r)^0 ;-;l(x5r)^1 = 11-x5 ;-; 1 ;-; x5
Fazendo as contas:
11-x5 - 1 - x5 = 15-x5 - 5-x5 = 55-x - 5-x5 = 25 - (5-x)^25(5-x)
Mas é mais simples usar diretamente
sumn=2^infty r^n = r^21-r com r=x5,
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sumn=2^infty x^n5^n = l(x5r)^21 - x5 = x^225;11 - x5 = x^225 - 5x = x^25,(5 - x)

Resposta

A série converge para
-5 < x < 5
e, nesse intervalo, sua soma é
x^25,(5 - x)

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