Nos Problemas 1-36, encontre a soluçãa geral para a equação diferencial dada.
y^prime prime prime-5 y^prime prime+3 y^prime+0 y=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear homogênea de terceira ordem com coeficientes constantes
y'''-5y''+3y'+0y=0. O método envolve montar a equação característica e encontrar suas raízes.

Passo 2

A equação característica associada é
r^3 - 5r^2 + 3r + 0 = 0

Passo 3

Fatorando r em evidência, obtemos
r,(r^2 - 5r + 3)=0,
logo uma raiz é r1 = 0.

Passo 4

Para as outras raízes, resolvemos o polinômio quadrático
r^2 - 5r + 3 = 0
pela fórmula de Bhaskara:
r = 5 pm raiz25 - 122 = 5 pm raiz132
Assim, r2 = tfrac5 + raiz132 e r3 = tfrac5 - raiz132.

Passo 5

Como as três raízes r1,r2,r3 são reais e distintas, a solução geral é a combinação linear de e^ri x:
y(x)=C1e^r1x+C2e^r2x+C3e^r3x

Resposta

y(x)=C1 + C2 e^tfrac5+raiz132x + C3 e^tfrac5-raiz132x

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