Encontre os valores de x para os quais a série converge. Calcule a soma da série para esses valores de x.
sumn=0^infty 2^n sen^n x

Passo 1

O enunciado pede para determinar para quais x a série
sumn=0^infty2^nsin^nx
converge e, nesses x, calcular sua soma. O conteúdo é o de séries geométricas, pois podemos escrever a série como
sumn=0^infty(2sin x)^n.

Passo 2

Para uma série geométrica sumn=0^inftyr^n convergir é preciso ter lvert rrvert<1. Aqui r=2sin x, então o critério de convergência é
lvert 2sin xrvert<1 Long<=ftrightarrow lvert sin xrvert<tfrac12

Passo 3

Quando lvert2sin xrvert<1, a soma da série geométrica é
sumn=0^infty(2sin x)^n =11-2sin x

Resposta

A série converge para
x tais que lvert sin xrvert<tfrac12,
e nesse caso
sumn=0^infty2^nsin^nx =11-2sin x

Exercícios relacionados