Encontre os valores de x para os quais a série converge. Calcule a soma da série para esses valores de x.
sumn=0^infty 1x^n

Passo 1

O enunciado nos dá a série
sumn=0^infty 1x^n
e pede (a) o conjunto de valores de x em que ela converge e (b) a soma dessa série. Trata-se de uma série geométrica com primeiro termo a=1 e razão
r=1x

Passo 2

Para uma série geométrica sumn=0^infty a,r^n há convergência se, e somente se, lvert rrvert<1. Aqui r=1/x, então a condição de convergência é
llvert tfrac1xrrvert <1,
o que equivale a
lvert xrvert>1
Além disso cada termo tfrac1x^n só faz sentido se xneq 0, mas esse caso já fica fora de lvert xrvert>1.

Passo 3

Portanto a série converge exatamente para
,xinRmid lvert xrvert>1

Passo 4

Quando lvert xrvert>1, a soma de uma série geométrica é
S=a1-r =11-tfrac1x =1tfracx-1x =xx-1

Resposta

A série converge para lvert xrvert>1 e, nesses pontos,
sumn=0^infty1x^n=xx-1

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