Encontre os valores de x para os quais a série converge. Calcule a soma da série para esses valores de x.
sumn=1^infty tg^n x

Passo 1

O enunciado pede para determinar os valores de x tais que a série
sumn=1^inftytan^n(x)
converge e, nesses x, calcular a soma. O conteúdo principal é reconhecer essa série como uma série geométrica em que cada termo é da forma r^n, com r=tan(x).

Passo 2

Numa série geométrica sumn=1^inftyr^n, o parâmetro r é simultaneamente o primeiro termo e a razão. Para que essa série converja, é necessário e suficiente ter
|r|<1
Aqui, r=tan(x). Portanto, a condição de convergência é
|tan(x)|<1

Passo 3

Resolvendo a desigualdade |tan(x)|<1, temos
-1<tan(x)<1
Sabendo que tan(x) é periódica de período pi e cruza -1 e 1 nos ângulos -pi/4 e pi/4 respectivamente, concluímos que a série converge exatamente quando
xinl(-tfracpi4+kpi,;tfracpi4+kpir), kinZ

Passo 4

Para |tan(x)|<1, a soma da série geométrica sumn=1^inftyr^n é dada por
sumn=1^inftyr^n =r1-r
Substituindo r=tan(x), obtemos
sumn=1^inftytan^n(x) =tan(x)1-tan(x)

Resposta

Converge para
xinl(-tfracpi4+kpi,;tfracpi4+kpir), kinZ,
e, nesses valores de x,
sumn=1^inftytan^n(x) =tan(x)1-tan(x)

Exercícios relacionados