Encontre os valores de
para os quais a série converge. Calcule a soma da série para esses valores de
.
Passo 1
O enunciado pede para determinar os valores de
tais que a série
converge e, nesses
, calcular a soma. O conteúdo principal é reconhecer essa série como uma série geométrica em que cada termo é da forma
, com
.
Passo 2
Numa série geométrica
, o parâmetro
é simultaneamente o primeiro termo e a razão. Para que essa série converja, é necessário e suficiente ter
Aqui,
. Portanto, a condição de convergência é
Passo 3
Resolvendo a desigualdade
, temos
Sabendo que
é periódica de período
e cruza
e
nos ângulos
e
respectivamente, concluímos que a série converge exatamente quando
Passo 4
Para
, a soma da série geométrica
é dada por
Substituindo
, obtemos
Resposta
Converge para
e, nesses valores de
,