O enunciado pede para estudar a convergência da série
usando o teste da integral. Vamos precisar mostrar que a função
é positiva e decrescente para grande e então comparar a série com .
Passo 2
Para aplicar o teste da integral, note que para temos e , então todos os fatores em são positivos. Além disso, calculando
ou observando que cada fator , e cresce com , conclui-se que é decrescente para . Logo podemos aplicar o teste da integral a partir de (alguns termos iniciais não afetam a convergência).
Passo 3
Escrevemos a integral
Fazendo a mudança de variável
os limites ficam e , e a integral vira
Passo 4
Para simplificar mais, faça
com limites e . Assim a integral passa a ser
Passo 5
Sabemos que
Ou seja, essa integral converge exatamente quando p>1.
Passo 6
Pelo teste da integral, a série
sumn=2^infty1nln nl[ln(ln n)r]^p
converge se e somente se a integral correspondente convergir. Assim concluímos que a série converge se e somente sep>1.