Prove que sumn=2^infty 1n ln n[ln (ln n)]^p converge se e somente se p>1.

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
sumn=2^infty1nln nl[ln(ln n)r]^p
usando o teste da integral. Vamos precisar mostrar que a função
f(x)=1xln xl[ln(ln x)r]^p
é positiva e decrescente para x grande e então comparar a série com
integral2^inftyf(x),dx.

Passo 2

Para aplicar o teste da integral, note que para x>e^e temos ln x>e e ln(ln x)>1, então todos os fatores em f(x) são positivos. Além disso, calculando
f'(x)
ou observando que cada fator x, ln x e [ln(ln x)]^p cresce com x, conclui-se que f(x) é decrescente para x>e^e. Logo podemos aplicar o teste da integral a partir de x=2 (alguns termos iniciais não afetam a convergência).

Passo 3

Escrevemos a integral
integral2^inftydxxln xl[ln(ln x)r]^p
Fazendo a mudança de variável
t=ln x, dt=dxx,
os limites ficam x=2mapsto t=ln2 e xtoinftymapsto ttoinfty, e a integral vira
integralln2^inftydttl[ln tr]^p

Passo 4

Para simplificar mais, faça
u=ln t, du=dtt,
com limites t=ln2mapsto u=ln(ln2) e ttoinftymapsto utoinfty. Assim a integral passa a ser
integralln(ln2)^inftyduu^p

Passo 5

Sabemos que
integralA^inftyu^-p,du = A^1-pp-1,& p>1, infty,& p<=1
Ou seja, essa integral converge exatamente quando p>1.

Passo 6

Pelo teste da integral, a série
sumn=2^infty1nln nl[ln(ln n)r]^p
converge se e somente se a integral correspondente convergir. Assim concluímos que a série converge se e somente se p>1.

Resposta

A série converge exatamente quando p>1.

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