Encontre a velocidade de um corpo, de massa m\), que parte do repouso sob ação da força descontínua \[F(t)= \begin{cases}+F_{0}, & 0<t<T \\\\ -F_{0}, & t>T\end{cases}
e resistência do ar F_{R}(v)=-c v, c>0\]. (Resposta: \(\frac{F_{0}}{c}\left(1-e^{-a t}\right), 0< \left.t<T \mathrm{e}-\frac{F_{0}}{c}+\frac{F_{0}}{c}\left(2-e^{-a T}\right) e^{-a(t-T)}, t>T\right).

Passo 1

O enunciado pede a velocidade v(t)\) de um corpo de massa \(m\), lançado do repouso \(v(0)=0\), sujeito a uma força externa descontínua \[F(t)= \begin{cases} +F_{0}, & 0<t<T,\\\\ -F_{0}, & t>T, \end{cases}
e à resistência do ar F_{R}(v)=-c\,v\] com \(c>0. Trata-se de uma EDO linear de primeira ordem em cada intervalo. Para simplificar, definimos
a=\frac{c}{m}\,.

Passo 2

No intervalo 0<t<T a equação de movimento é
m\frac{dv}{dt}=F_{0}-c\,v
ou seja
\frac{dv}{dt}+a\,v=\frac{F_{0}}{m}\,.
A solução geral dessa EDO tem a forma “solução estacionária + modo transiente”:
v(t)=\underbrace{\frac{F_{0}}{c}}_{\displaystyle v_{\infty}}\;+\;C\,e^{-a t}\,.
Como v(0)=0, temos
0=\frac{F_{0}}{c}+C\quad\Rightarrow\quad C=-\frac{F_{0}}{c}.
Logo
v(t)=\frac{F_{0}}{c}\Bigl(1-e^{-a t}\Bigr) \quad(0<t<T).

Passo 3

Para t>T a força externa inverte de sinal e a EDO passa a ser
m\frac{dv}{dt}=-F_{0}-c\,v
ou
\frac{dv}{dt}+a\,v=-\frac{F_{0}}{m}\,.
A solução geral é
v(t)=\underbrace{-\frac{F_{0}}{c}}_{\displaystyle v_{\infty,2}}+D\,e^{-a\bigl(t-T\bigr)}.
Para determinar D, usamos continuidade de v em t=T:
v(T^-)=v(T^+) \;\Longrightarrow\; \frac{F_{0}}{c}\bigl(1-e^{-aT}\bigr) =-\frac{F_{0}}{c}+D.
Assim
D=\frac{F_{0}}{c}\Bigl(2-e^{-aT}\Bigr)
e
v(t)=-\frac{F_{0}}{c} +\frac{F_{0}}{c}\Bigl(2-e^{-aT}\Bigr)e^{-a(t-T)} \quad(t>T).

Resposta

v(t)= \begin{cases} \displaystyle \frac{F_{0}}{c}\Bigl(1-e^{-a t}\Bigr), & 0<t<T,\\[1em] \displaystyle -\frac{F_{0}}{c} +\frac{F_{0}}{c}\Bigl(2-e^{-aT}\Bigr)\,e^{-a(t-T)}, & t>T, \end{cases}
com a=\tfrac{c}{m}.]

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