Encontre a velocidade de um corpo, de massa m\), que parte do repouso sob ação da força descontínua
\[F(t)= \begin{cases}+F_{0}, & 0<t<T \\\\ -F_{0}, & t>T\end{cases}
e resistência do ar F_{R}(v)=-c v, c>0\]. (Resposta: \(\frac{F_{0}}{c}\left(1-e^{-a t}\right), 0< \left.t<T \mathrm{e}-\frac{F_{0}}{c}+\frac{F_{0}}{c}\left(2-e^{-a T}\right) e^{-a(t-T)}, t>T\right).
Passo 1
O enunciado pede a velocidade v(t)\) de um corpo de massa \(m\), lançado do repouso \(v(0)=0\), sujeito a uma força externa descontínua
\[F(t)= \begin{cases} +F_{0}, & 0<t<T,\\\\ -F_{0}, & t>T, \end{cases}
e à resistência do ar F_{R}(v)=-c\,v\] com \(c>0. Trata-se de uma EDO linear de primeira ordem em cada intervalo. Para simplificar, definimos
a=\frac{c}{m}\,.
Passo 2
No intervalo 0<t<T a equação de movimento é
m\frac{dv}{dt}=F_{0}-c\,v
ou seja
\frac{dv}{dt}+a\,v=\frac{F_{0}}{m}\,.
A solução geral dessa EDO tem a forma “solução estacionária + modo transiente”: