a) Mostre que o conjunto é ortogonal em (-p, p).
b) Calcule as normas \left\|\phi_{0}\right\|,\left\|\phi_{n}^{\text{(c)}}\right\| e \left\|\phi_{n}^{(s)}\right\|.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas para o sistema de funções \phi_{0}(x)=1, \phi_{n}^{\text{(c)}}(x)=\cos\bigl(\tfrac{n\pi x}{p}\bigr), \phi_{n}^{(s)}(x)=\sin\bigl(\tfrac{n\pi x}{p}\bigr) em (-p,p):
a) mostrar que são mutuamente ortogonais usando o produto interno
\langle f,g\rangle=\int_{-p}^{p}f(x)\,g(x)\,dx,
b) calcular as normas \|\phi_{0}\|, \|\phi_{n}^{\text{(c)}}\| e \|\phi_{n}^{(s)}\|.
Passo 2
Mostrando que \phi_{0} é ortogonal a \phi_{n}^{\text{(c)}} e \phi_{n}^{(s)}:
Como \cos\bigl(\tfrac{n\pi x}{p}\bigr) é função par, mas o intervalo é simétrico e o integral de um cosseno de período inteiro sobre um período inteiro vale zero, temos
Mostrando ortogonalidade entre \phi_{n}^{\text{(c)}} e \phi_{m}^{\text{(c)}} para n\neq m, e entre \phi_{n}^{(s)} e \phi_{m}^{(s)} para n\neq m: usa-se as fórmulas de produto trigonométrico
\cos A\cos B =\tfrac12\bigl[\cos(A-B)+\cos(A+B)\bigr], \quad \sin A\sin B =\tfrac12\bigl[\cos(A-B)-\cos(A+B)\bigr].