3: Seja o conjunto de funções base
\phi_{0}(x)=1, \quad \phi_{n}^{\text{(c)}}(x)=\cos \left(\frac{n \pi x}{p}\right), \quad \phi_{n}^{(s)}(x)=\sin \left(\frac{n \pi x}{p}\right), \quad n=1,2, \ldots
a) Mostre que o conjunto é ortogonal em (-p, p).
b) Calcule as normas \left\|\phi_{0}\right\|,\left\|\phi_{n}^{\text{(c)}}\right\| e \left\|\phi_{n}^{(s)}\right\|.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas para o sistema de funções \phi_{0}(x)=1, \phi_{n}^{\text{(c)}}(x)=\cos\bigl(\tfrac{n\pi x}{p}\bigr), \phi_{n}^{(s)}(x)=\sin\bigl(\tfrac{n\pi x}{p}\bigr) em (-p,p):
a) mostrar que são mutuamente ortogonais usando o produto interno
\langle f,g\rangle=\int_{-p}^{p}f(x)\,g(x)\,dx,
b) calcular as normas \|\phi_{0}\|, \|\phi_{n}^{\text{(c)}}\| e \|\phi_{n}^{(s)}\|.

Passo 2

Mostrando que \phi_{0} é ortogonal a \phi_{n}^{\text{(c)}} e \phi_{n}^{(s)}:
\langle \phi_{0},\phi_{n}^{\text{(c)}}\rangle =\int_{-p}^{p}1\cdot\cos\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{p}\bigr)\,dx
Como \cos\bigl(\tfrac{n\pi x}{p}\bigr) é função par, mas o intervalo é simétrico e o integral de um cosseno de período inteiro sobre um período inteiro vale zero, temos
\int_{-p}^{p}\cos\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{p}\bigr)\,dx =0.
Analogamente, como \sin\bigl(\tfrac{n\pi x}{p}\bigr) é ímpar,
\langle \phi_{0},\phi_{n}^{(s)}\rangle =\int_{-p}^{p}\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{p}\bigr)\,dx =0.

Passo 3

Mostrando ortogonalidade entre \phi_{n}^{\text{(c)}} e \phi_{m}^{\text{(c)}} para n\neq m, e entre \phi_{n}^{(s)} e \phi_{m}^{(s)} para n\neq m: usa-se as fórmulas de produto trigonométrico
\cos A\cos B =\tfrac12\bigl[\cos(A-B)+\cos(A+B)\bigr], \quad \sin A\sin B =\tfrac12\bigl[\cos(A-B)-\cos(A+B)\bigr].
Então
\int_{-p}^{p}\cos\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{p}\bigr) \cos\!\bigl(\tfrac{m\pi x}{p}\bigr)\,dx =0, \quad \int_{-p}^{p}\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{p}\bigr) \sin\!\bigl(\tfrac{m\pi x}{p}\bigr)\,dx =0
quando n\neq m, pois cada cosseno de frequência não nula integra zero no período inteiro.
E para qualquer n,m,
\int_{-p}^{p}\cos\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{p}\bigr) \sin\!\bigl(\tfrac{m\pi x}{p}\bigr)\,dx =0
porque o integrando é produto de função par por função ímpar, resultando em função ímpar no intervalo simétrico.

Passo 4

Cálculo das normas:
\|\phi_{0}\|^{2} =\int_{-p}^{p}1^{2}\,dx =2p \quad\Longrightarrow\quad \|\phi_{0}\|=\sqrt{2p}.
Para qualquer n\ge1,
\|\phi_{n}^{\text{(c)}}\|^{2} =\int_{-p}^{p}\cos^{2}\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{p}\bigr)\,dx =p, \quad \|\phi_{n}^{(s)}\|^{2} =\int_{-p}^{p}\sin^{2}\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{p}\bigr)\,dx =p,
pois cada \cos^{2} ou \sin^{2} média vale 1/2 e o comprimento do intervalo é 2p. Logo
\|\phi_{n}^{\text{(c)}}\|=\sqrt{p}, \quad \|\phi_{n}^{(s)}\|=\sqrt{p}.

Resposta

O conjunto é ortogonal em (-p,p) e
\|\phi_{0}\|=\sqrt{2p}, \quad \|\phi_{n}^{\text{(c)}}\|=\sqrt{p}, \quad \|\phi_{n}^{(s)}\|=\sqrt{p}.

Exercícios relacionados