Encontre o vértice, o foco e a diretriz da parábola e esboce seu gráfico.
x^{2}=6 y

Passo 1

O enunciado pede as características de uma parábola dada por
x^{2} = 6\,y
Devemos identificar o vértice, o parâmetro p, o foco e a diretriz. Para isso, usamos o conhecimento de se tratar da forma canônica
x^{2} = 4\,p\,y,
que representa uma parábola com vértice na origem e eixo de simetria ao longo do eixo y.

Passo 2

Comparando as duas equações
x^{2} = 6\,y \quad\text{e}\quad x^{2} = 4\,p\,y,
vemos que 4\,p = 6. Logo,
p = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}.

Passo 3

Na forma canônica x^{2}=4\,p\,y a parábola tem vértice em (0,0). Portanto, o vértice é
V = (0,0).

Passo 4

O foco de uma parábola x^{2}=4\,p\,y está no ponto (0,p). Substituindo p=\tfrac{3}{2}, obtemos
F = \bigl(0,\tfrac{3}{2}\bigr).

Passo 5

A diretriz de uma parábola x^{2}=4\,p\,y é a reta
y = -\,p.
Com p=\tfrac{3}{2}, a diretriz fica
y = -\tfrac{3}{2}.

Passo 6

Para esboçar o gráfico: é uma parábola com eixo ao longo de y, simétrica em relação ao eixo y, vértice em (0,0) e abrindo para cima. O foco (0,1{,}5) fica dentro dela, e a reta y=-1{,}5 abaixo do vértice é a diretriz.

Resposta

Vértice: (0,0)
Foco: \bigl(0,\tfrac{3}{2}\bigr)
Diretriz: y=-\tfrac{3}{2}
Gráfico: parábola simétrica em torno do eixo y, aberta para cima.

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