As seguintes seis matrizes são matrizes de coeficientes de sistemas de equações lineares. Para cada matriz, atribua um valor para x e um valor para y (quando houver y ) de forma que o conjunto de soluções do sistema de equações lineares correspondente tenha as propriedades especificadas. Justifique suas respostas.
(a) \left(0,5\right. ponto) \left[\begin{array}{ll}3 & 2 \\\ x & 1\end{array}\right], 1 única solução para qualquer \boldsymbol{b} \equiv\left(b_{1}, b_{2}\right).

Passo 1

O item (a) nos dá a matriz de coeficientes
A=\begin{pmatrix}3 & 2 \\\ x & 1\end{pmatrix}
e quer que o sistema A\mathbf{u}=\mathbf{b} tenha exatamente uma solução para qualquer vetor \mathbf{b}=(b_{1},b_{2}). O conteúdo usado será o de matrizes invertíveis: um sistema linear tem solução única para todo \mathbf{b} se, e somente se, sua matriz de coeficientes for invertível (ou seja, tiver determinante não nulo).

Passo 2

Calculemos o determinante de A:
\det(A)=3\cdot1-2\cdot x=3-2x.

Passo 3

Para garantir que A seja invertível, precisamos de
\det(A)\neq0 \quad\Longrightarrow\quad 3-2x\neq0 \quad\Longrightarrow\quad x\neq\frac{3}{2}.
Logo, qualquer valor de x diferente de \tfrac{3}{2} assegura uma única solução.

Passo 4

Para atribuir um valor concreto a x, basta escolher algo fora de \tfrac{3}{2}. Por exemplo, se tomarmos
x=0,
então \det(A)=3\neq0 e o sistema ficará com solução única para todo \mathbf{b}.

Resposta

x=0

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