As seguintes seis matrizes são matrizes de coeficientes de sistemas de equações lineares. Para cada matriz, atribua um valor para x e um valor para y (quando houver y ) de forma que o conjunto de soluções do sistema de equações lineares correspondente tenha as propriedades especificadas. Justifique suas respostas.
(c) \left(0,5\right. ponto) \left[\begin{array}{ll}2 & 1 \\\\ 1 & 3 \\\\ 2 & x\end{array}\right], 0 ou 1 solução a depender de \boldsymbol{b} \equiv\left(b_{1}, b_{2}, b_{3}\right).

Passo 1

O enunciado dá a matriz de coeficientes
A = \begin{pmatrix} 2 & 1\\\\ 1 & 3\\\\ 2 & x \end{pmatrix}
para um sistema A\,\mathbf{u} = \mathbf{b} com \mathbf{u} = (u_{1},u_{2}). Como há 3 equações e 2 incógnitas, queremos que o sistema tenha ou nenhuma solução (quando \mathbf{b} não estiver no espaço coluna de A) ou exatamente uma solução (quando \mathbf{b} estiver no espaço coluna). Para que não surjam infinitas soluções, precisamos de \mathrm{rank}(A)=2, ou seja, as colunas de A devem ser linearmente independentes.

Passo 2

Para verificar a independência das colunas, basta encontrar um subdeterminante 2\times2 não nulo. Observe as primeiras duas linhas:
\det\begin{pmatrix} 2 & 1\\\\ 1 & 3 \end{pmatrix} =2\cdot 3 - 1\cdot 1 = 6 - 1 = 5 \neq 0.
Logo, independentemente de x, essas duas linhas já garantem que \mathrm{rank}(A)\ge 2.

Passo 3

Como A tem apenas duas colunas, a maior posta de determinantes possível é 2. Encontramos \mathrm{rank}(A)=2 para todo x. Isso assegura que:
  • Se \mathbf{b} pertence ao espaço coluna de A, o sistema tem solução única.
  • Se \mathbf{b} não pertence ao espaço coluna de A, o sistema é inconsistente (nenhuma solução).

Passo 4

Concluímos que qualquer valor de x mantém \mathrm{rank}(A)=2. Basta escolher um x conveniente, por exemplo
x = 0.

Resposta

Para que o sistema tenha 0 ou 1 solução conforme \mathbf{b}, podemos tomar
\boxed{x = 0.}

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