As seguintes seis matrizes são matrizes de coeficientes de sistemas de equações lineares. Para cada matriz, atribua um valor para x e um valor para y (quando houver y ) de forma que o conjunto de soluções do sistema de equações lineares correspondente tenha as propriedades especificadas. Justifique suas respostas.
(c) \left(0,5\right. ponto) \left[\begin{array}{ll}2 & 1 \\\\ 1 & 3 \\\\ 2 & x\end{array}\right], 0 ou 1 solução a depender de \boldsymbol{b} \equiv\left(b_{1}, b_{2}, b_{3}\right).
Passo 1
O enunciado dá a matriz de coeficientes
A = \begin{pmatrix} 2 & 1\\\\ 1 & 3\\\\ 2 & x \end{pmatrix}
para um sistema A\,\mathbf{u} = \mathbf{b} com \mathbf{u} = (u_{1},u_{2}). Como há 3 equações e 2 incógnitas, queremos que o sistema tenha ou nenhuma solução (quando \mathbf{b} não estiver no espaço coluna de A) ou exatamente uma solução (quando \mathbf{b} estiver no espaço coluna). Para que não surjam infinitas soluções, precisamos de \mathrm{rank}(A)=2, ou seja, as colunas de A devem ser linearmente independentes.
Passo 2
Para verificar a independência das colunas, basta encontrar um subdeterminante2\times2 não nulo. Observe as primeiras duas linhas: