Em três tipos de alimentos verificou-se que, para cada grama:
(a) o alimento
tem 2 unidades de vitamina A, 2 unidades de vitamina
e 8 unidades de vitamina C;
(b) o alimento
tem 2 unidades de vitamina A, 1 unidades de vitamina
e 5 unidades de vitamina C;
(c) o alimento
tem 3 unidades de vitamina A, não contém vitamina
e 3 unidades de vitamina C;
Ache todas as possíveis quantidades dos alimentos
e
que forneçam, simultaneamente, 11 unidades da vitamina A, 3 unidades da vitamina B e 20 unidades da vitamina C.
(a) o alimento
(b) o alimento
(c) o alimento
Passo 1
Vamos chamar de
,
e
as quantidades em gramas dos alimentos I, II e III, respectivamente.
Para cada grama:
— Alimento I fornece 2 unidades de A, 2 de B e 8 de C.
— Alimento II fornece 2 unidades de A, 1 de B e 5 de C.
— Alimento III fornece 3 unidades de A, 0 de B e 3 de C.
Queremos que, no total, tenhamos 11 unidades de A, 3 de B e 20 de C.
Para cada grama:
— Alimento I fornece 2 unidades de A, 2 de B e 8 de C.
— Alimento II fornece 2 unidades de A, 1 de B e 5 de C.
— Alimento III fornece 3 unidades de A, 0 de B e 3 de C.
Queremos que, no total, tenhamos 11 unidades de A, 3 de B e 20 de C.
Passo 2
Montamos o sistema linear que traduz essas exigências:
Para a vitamina A:
Para a vitamina A:
Para a vitamina B:
Para a vitamina C:
Passo 3
Da segunda equação isolamos
Substituindo em
temos
logo
Passo 4
Podemos checar que, ao substituir
e
na equação de C, obtemos exatamente a mesma relação
. Isso mostra que o sistema tem um grau de liberdade e, portanto, infinitas soluções.
Passo 5
Agora impomos as quantidades não-negativas:
Da segunda condição vem
, ou seja
. A terceira dá
, ou seja
, mas o
já é mais forte.
Logo
Logo
Resposta
Todas as soluções não-negativas são parametrizadas por um real
em
: