Em três tipos de alimentos verificou-se que, para cada grama:
(a) o alimento I tem 2 unidades de vitamina A, 2 unidades de vitamina B e 8 unidades de vitamina C;
(b) o alimento II tem 2 unidades de vitamina A, 1 unidades de vitamina B e 5 unidades de vitamina C;
(c) o alimento III tem 3 unidades de vitamina A, não contém vitamina B e 3 unidades de vitamina C;
Ache todas as possíveis quantidades dos alimentos I, II e III que forneçam, simultaneamente, 11 unidades da vitamina A, 3 unidades da vitamina B e 20 unidades da vitamina C.

Passo 1

Vamos chamar de x, y e z as quantidades em gramas dos alimentos I, II e III, respectivamente.
Para cada grama:
— Alimento I fornece 2 unidades de A, 2 de B e 8 de C.
— Alimento II fornece 2 unidades de A, 1 de B e 5 de C.
— Alimento III fornece 3 unidades de A, 0 de B e 3 de C.
Queremos que, no total, tenhamos 11 unidades de A, 3 de B e 20 de C.

Passo 2

Montamos o sistema linear que traduz essas exigências:
Para a vitamina A:
2x + 2y + 3z = 11
Para a vitamina B:
2x + y = 3
Para a vitamina C:
8x + 5y + 3z = 20

Passo 3

Da segunda equação isolamos
y = 3 - 2x.
Substituindo em 2x + 2y + 3z = 11 temos
2x + 2(3 - 2x) + 3z = 11 \quad\Longrightarrow\quad -2x + 6 + 3z = 11 \quad\Longrightarrow\quad -2x + 3z = 5
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z = \frac{5 + 2x}{3}.

Passo 4

Podemos checar que, ao substituir y=3-2x e z=(5+2x)/3 na equação de C, obtemos exatamente a mesma relação -2x+3z=5. Isso mostra que o sistema tem um grau de liberdade e, portanto, infinitas soluções.

Passo 5

Agora impomos as quantidades não-negativas:
x \ge 0,\quad y = 3 - 2x \ge 0,\quad z = \frac{5 + 2x}{3} \ge 0.
Da segunda condição vem 3 - 2x \ge 0, ou seja x \le 1{,}5. A terceira dá 5 + 2x \ge 0, ou seja x \ge -2{,}5, mas o x\ge0 já é mais forte.
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0 \le x \le 1{,}5.

Resposta

Todas as soluções não-negativas são parametrizadas por um real t em [0,1{,}5]:
(x,y,z) = \Bigl(t,\;3-2t,\;\frac{5+2t}{3}\Bigr), \quad 0 \le t \le 1{,}5.

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